Prova de otimização da estratégia clássica de jogos CHSH

Estou ciente de que a otimização da estratégia quântica para o jogo CHSH é dada pelos limites de Tsirelson , mas todas as apresentações pulam a prova (reconhecidamente muito menos interessante) da otimização da estratégia clássica.

No jogo CHSH, temos dois jogadores: Alice e Bob. Eles são administrados em separado bits aleatórios independentes e como entrada, e sem comunicação deve bits de saída da sua própria ( e B ), com o objectivo de tornar verdadeira a fórmula lógica X \ cdot Y = A \ oplus B . A estratégia clássica ideal alegada é que Alice e Bob sempre produzam 0 , o que resulta em uma vitória em 75% das vezes:$X$$Y$$A$$B$$X \cdot Y = A \oplus B$$0$

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline X & Y & A & B & X \cdot Y & A \oplus B \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}$

A estratégia quântica (que abordarei aqui ) resulta em uma vitória ~ 85% das vezes. Você pode usar isso como prova da insuficiência de variáveis ​​ocultas locais para explicar o emaranhamento da seguinte maneira:

1. Suponha que os qbits decidam no momento do emaranhado como eles entrarão em colapso (e não no momento da medição); isso significa que eles devem levar consigo algumas informações (a variável oculta local), e essas informações podem ser escritas como uma sequência de bits.
2. Como as informações são suficientes para descrever completamente a maneira como os qbits emaranhados entram em colapso, Alice e Bob poderiam, se tiverem acesso à mesma sequência de bits clássicos, simular o comportamento de um par compartilhado de qbits emaranhados.
3. Se Alice e Bob pudessem simular o comportamento de um par compartilhado de qbits emaranhados, eles poderiam implementar a estratégia quântica com métodos clássicos locais usando a sequência pré-compartilhada de bits clássicos. Portanto, deve existir alguma estratégia clássica que dê uma taxa de sucesso de 85% com uma sequência de bits como entrada.
4. No entanto, não existe uma sequência de bits que permita uma estratégia clássica com taxa de sucesso acima de 75%.
5. Por contradição, o comportamento de partículas emaranhadas não é redutível a uma sequência de bits (variável oculta local) e, portanto, as partículas emaranhadas devem afetar instantaneamente uma à outra no momento da medição.

Estou interessado na prova de (4). Imagino que essa prova assuma a forma de um par não comunicativo de máquinas de Turing que recebem como entrada os bits aleatórios independentes e mais uma sequência de bits compartilhada arbitrária, que vence o jogo CHSH com probabilidade superior a 75%; presumivelmente, isso resulta em alguma contradição que demonstra a inexistência de tais MTs. Então, o que é essa prova?$X$$Y$

Secundariamente, quais trabalhos apresentaram uma prova da otimização da estratégia clássica?

Pergunta bônus: em (1), afirmamos que a variável oculta local pode ser escrita como uma sequência de bits; existe uma razão simples para que esse seja o caso?

Eu argumentaria que esta é a questão crítica a entender para as desigualdades de Bell. Encontrar uma violação de uma desigualdade de Bell diz a você que o sistema não é clássico (nota: não prova que é quântico); portanto, você precisa entender o que é clássico que o mundo não é.

Vamos indicar a variável aleatória CHSH em que estamos interessados: que cada um de são variáveis ​​aleatórias com valores . O principal pressuposto para a estratégia clássica é que, para cada execução do experimento, todas as quatro variáveis ​​tenham um valor fixo (mesmo que apenas encontremos dois valores). As variáveis ​​ocultas são essencialmente irrelevantes aqui - elas permitem que duas partes distantes coordenem o que esses valores fixos serão sem ter que se comunicar no momento, mas não podem alterar essa suposição básica.

$$S=A_1B_1+A_1B_2+A_2B_1-A_2B_2,$$ $A_1,A_2,B_1,B_2$$\pm1$

Quais são as consequências disso? Reescreva como Agora, se e , então ; nesse caso, e ou , de modo que e . Nos dois casos, . Finalmente, se, em todas as execuções do experimento, , então o valor médio .$S$

$$S=A_1(B_1+B_2)+A_2(B_1-B_2).$$ $B_1\in\{\pm1\}$$B_2\in\{\pm1\}$$B_1=B_2$$B_1-B_2=0$$B_1+B_2=\pm 2$$B_1=-B_2$$B_1+B_2=0$$B_1-B_2=\pm 2$$S=\pm 2$$S=\pm 2$$|\langle S\rangle|\leq 2$

Portanto, o que você aprende com a violação de uma desigualdade de Bell é que, toda vez que o experimento é executado, nem todas as respostas possíveis foram determinadas. Classicamente, isso é possível com a brecha na localidade - se as duas perguntas são conhecidas, uma resposta vencedora pode ser decidida de forma determinística sem a necessidade de especificar todos os outros resultados possíveis. Caso contrário, há alguma aleatoriedade inerente em escolher as respostas.

Quanto a onde você pode encontrar provas na literatura, por que não acompanhar as referências no artigo da wikipedia ? Como eu disse, o limite clássico é o elemento central, portanto deve estar nos trabalhos originais.

Pergunta bônus: em (1), afirmamos que a variável oculta local pode ser escrita como uma sequência de bits; existe uma razão simples para que esse seja o caso?

Qualquer informação pode ser escrita como uma sequência de bits.

Uma maneira de provar isso é caracterizar o conjunto de todas as estratégias possíveis que Alice & Bob podem adotar. Por "estratégia", quero dizer uma possível relação entre entradas e saídas, codificada no conjunto de quatro números binários .$A_0,A_1,B_0,B_1$

Vale a pena notar que não importa se estamos considerando protocolos determinísticos ou probabilísticos aqui. A diferença entre essas duas abordagens está na maneira como as etapas do protocolo prosseguem, mas se considerarmos apenas a entrada e a saída do protocolo, sem nos preocuparmos com como a saída é realmente obtida, então caracterizamos o conjunto de todas as relações possíveis de entrada e saída. e mostrando que nenhuma dessas combinações oferece uma probabilidade de vitória maior que$75\%$basta. Em outras palavras, o uso de uma abordagem probabilística não expande o número de possíveis resultados / estratégias, mas apenas fornece uma maneira diferente de alcançá-los. Como estamos interessados ​​apenas na probabilidade de vitória final e, portanto, na estratégia geral, não precisamos levar em consideração o caso determinístico e probabilístico separadamente.

Observe que, dada uma estratégia , podemos escrever o número de combinações de entradas para as quais essa estratégia fornece o resultado errado como que indica o módulo de adição 2.$\mathcal S\equiv\{A_0,A_1,B_0,B_1\}$P S ≡ A 0 ⊕ B 0 + A 0 ⊕ B 1 + A 1 ⊕ B 0 + ( 1 - A 1 ⊕ B 1 ) , a ⊕ b

$$P_{\mathcal S}\equiv A_0\oplus B_0 + A_0\oplus B_1 + A_1\oplus B_0 + (1-A_1\oplus B_1),\tag1$$ $a\oplus b$

Nosso problema é encontrar a estratégia que minimize .$\mathcal S$$P_{\mathcal S}$

Agora, existem várias maneiras de fazer isso.

Força bruta

A maneira mais simples, se a menos elegante, é calcular o valor de para todas as estratégias possíveis . Existem 16 deles, então isso não é tão ruim. Com algumas linhas de código, você pode obter a seguinte tabela $P_{\mathcal S}$$\mathcal S$

$$\left( \begin{array}{ccccc} A_0 & A_1 & B_0 & B_1 & P_{\mathcal S} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 3 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 3 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right)$$ o que confirma que, de fato, todas as estratégias possíveis levam à perda do jogo por pelo menos uma combinação de entradas (ou seja, em suas palavras, uma probabilidade de sucesso não superior a ).$75\%$

Mas agora, é claro, essa não é uma maneira muito satisfatória de resolver o problema (pelo menos para mim). Seria muito melhor ter uma maneira de provar a otimização sem ter que verificar todas as possibilidades. O principal obstáculo a superar é a Eq. (1) contém somas modulares e regulares, o que torna a manipulação um pouco estranha, pois não podemos escrever algo como .$A_0\oplus B_0+A_0\oplus B_1=A_0(B_0\oplus B_1)$

Eu posso ver duas maneiras de contornar isso, a segunda das quais também esclarece as semelhanças entre esse formalismo e a prova regular das desigualdades no CHSH.

Primeiro método

Uma maneira de contornar esse problema é notar que podemos expressar somas modulares usando somas e produtos regulares, como segue A manipulação algébrica simples nos permite escrever e finalmente,

$$A\oplus B=(1-A)B+A(1-B)=A+B-2AB.$$ $$A_0\oplus B_0+A_0\oplus B_1=2A_0(1-(B_0+B_1))+(B_0+B_1),\\ A_1\oplus B_0+(1-A_1\oplus B_1)=1+(2A_1-1)(B_1-B_0),$$ $$P_{\mathcal S}=1+2\{B_0+A_0[1-(B_0+B_1)]+A_1(B_1-B_0)\}.$$

Agora você pode verificar se, se então , enquanto que se , .$B_0=B_1$$P_{\mathcal S}=1+2A_0\oplus B_0$$B_0+B_1=1$$P_{\mathcal S}=1+2A_1\oplus B_0$

Equivalentemente, pode-se verificar que também pode ser escrito como que o último termo é sempre zero como . Observe que essa é apenas uma maneira de expressar algebricamente o que acontece nos dois casos e , como se e se .$P_{\mathcal S}$

$$P_{\mathcal S}=(1-2B_0)(B_1-B_0)[1+2A_1\oplus B_0] + [1-(B_0+B_1)](1-2B_0)[1+2A_0\oplus B_0]+ B_0(1-B_0)(...),$$ $B_0\in\{0,1\}$$B_0=B_1$$B_0=-B_1$$(1-2B_0)(B_1-B_0)=1$$B_0=-B_1$$(1-2B_0)(1-B_0-B_1)=1$$B_0=B_1$

Segundo método

Isso implica mostrar que esse formalismo é equivalente ao comumente usado no contexto de derivação das desigualdades no CHSH.

Denote com o número obtido substituindo em por , respectivamente, e da mesma forma para . Por exemplo, fornece . Observe que, nesse mapeamento, temos as identidades Podemos escrever$\tilde A_x\equiv 1-2A_x$$0,1$$A_x$$+1,-1$$\tilde B_y$$A_x=0$$\tilde A_x=+1$

$$A_x\oplus B_y=(1-\tilde A_x\tilde B_y)/2.$$

$$P_{\mathcal S}=\frac{1}{2}\left[4-\tilde A_0\tilde B_0-\tilde A_0\tilde B_1-\tilde A_1\tilde B_0+\tilde A_1\tilde B_1\right] =2 - S/2,$$ onde definimos que você pode reconhecer como equivalente ao operador usado ao discutir as desigualdades no CHSH. $$S\equiv \tilde A_0\tilde B_0+\tilde A_0\tilde B_1+\tilde A_1\tilde B_0-\tilde A_1\tilde B_1,$$ $\hat S$

Os argumentos padrão agora fornecem e, portanto, e, finalmente, (ou mais precisamente ).$S=\pm 2$$\lvert S\rvert\le 2$$P_{\mathcal S}\ge1$$P_{\mathcal S}\in\{1,3\}$

No jogo CHSH, temos 2 jogadores Alice e Bob. Podemos provar, na forma de um par de TMs sem comunicação, que recebe como entrada os bits aleatórios independentes xey mais uma sequência de bits compartilhada arbitrariamente, que ALice e Bob vencem o jogo CHSH com probabilidade superior a 75%.

Fazemos as perguntas de Alice e Bob xey com probabilidade p (xy), elas dão as respostas aeb. As regras do jogo são indicadas usando que assume o valor "1" se aeb forem as respostas vencedoras. A probabilidade de Alice e Bob ganharem o jogo é maximizada em todas as estratégias possíveis Onde é a probabilidade de Alice e Bob produzirem respostas aeb dadas x e y.$V(a,b|x,y)$$P_{win} = max_{strategy} \sum_{x,y} p(x,y) | \sum_{a,b} V(a,b|x,y) p(a,b|x,y).$$p(a,b|x,y)$

Em termos de probabilidades, há uma distinção entre um prob determinístico clássico e uma probabilidade ramdoness compartilhada clássica. Um stratey clássica determinista é dada pelas funções e que tomar a perguntas x e y.$f_{A}(x) = a$$f_{B}(y) = b$

Se compartilhamos a aleatoriedade, outra string r é usada com uma probabilidade de compartilhamento . Classicamente Alice e Bob só pode aplicar funções e Isto dá Nesse caso, a probabilidade de ganhar o jogo é$p(r)$$a = f_{A}(x,r)$$b = f_{b}(y,r)$$p(a,b|x,y) = \sum_{x,y}^{} (p(r)) p(a,b|x,y,r)$

$P_{win} = max_{strategy} \sum_{x,y} p(x,y) \sum_{a,b} V(a,b|x,y)\sum_{r}p(r)p(a,b|x,y,r)$ . Nesse caso de randomnes compartilhados, temos um termo extra com a string r. Alice e Bob podem corrigir o melhor possível r dada uma estratégia determinística para a e b. Portanto, é possível executar um algoritmo em uma máquina de Turing usando uma string r de acordo com a configuração de teste na imagem. Problema: como encontramos a melhor string possível r?

Outra maneira de ver isso é dizer que a corda r como uma aleatoriedade compartilhada é referida como uma variável escondida na física. Portanto, a teoria da variável oculta é equivalente a usar uma corda r em uma máquina de turing. Portanto, é melhor usarmos uma prova da desigualdade de CHSH. Além disso, podemos comparar resultados arbitrários de HVT (linha tracejada) e QM para um experimento fotônico.

Uma prova compacta da desigualdade de CHSH baseada em uma variável oculta pode ser encontrada no artigo Fótons emaranhados, não-localidade e desigualdades de Bell no laboratório de graduação.