Por que um qubit emaranhado é mostrado na origem de uma esfera de Bloch?

Não estou claro por que a representação da esfera de Bloch de um qubit maximamente entrelaçado mostra o estado do bit como estando na origem da esfera.

Por exemplo, esta ilustração

mostra o efeito do circuito simples

com o tempo, com à esquerda e à direita. Ambos os qubits terminam na origem de suas respectivas esferas após a aplicação do ( "espera" em seu valor inicial até depois que move para ).$q_0$$q_1$$CNOT$$q_1$$H$$q_1$$x$

Por que um qubit maximamente entrelaçado é mostrado na origem de uma esfera de Bloch?

Uma explicação das sortes é fornecida aqui , mas sou muito iniciante para segui-la.

A esfera de Bloch representa apenas o estado de um único qubit. O que você está falando é tomar um estado de vários qubit e representar o estado de apenas um desses qubits na esfera de Bloch.

Se o estado de múltiplos qubit for um estado do produto (puro e separável), o estado do qubit único é um estado puro e será representado como um ponto na superfície da esfera de Bloch. Se o estado geral é emaranhado, o qubit individual não é puro e é representado por um ponto que está no interior da esfera de Bloch. Quanto menor a distância do centro, mais misto é o qubit individual e, portanto, mais enredado é o estado global. O estado maximamente emaranhado gera a menor distância possível, isto é, o ponto no centro da esfera. A resposta de AHussain fornece a matemática de como calcular isso formalmente.

$(x,y,z)$$x^2+y^2+z^2 \leq 1$

O estado associado a este ponto é

$$\begin{eqnarray*} \rho &=& \frac{1}{2} (I_2 + x \sigma_x + y \sigma_y + z \sigma_z)\\ &=& \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1+z&x-iy\\ x+iy&1-z\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$

$2\times 2$$d \neq 2$$d=2$

$(x,y,z)=(0,0,0)$$\rho$

$$\begin{eqnarray*} \rho &=& \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1+0&0-i0\\ 0+i0&1-0\\ \end{pmatrix}\\ &=& \begin{pmatrix} \frac{1}{2}&0\\ 0&\frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$

Este é o estado misto máximo.

O que está sendo mostrado é o estado de apenas 1 qubit. Este é o resultado após um rastreamento parcial sobre o outro qubit.

$q_0$

$$\begin{eqnarray*} \rho &=& | 0 \rangle \langle 0 |\\ \end{eqnarray*}$$

$(x,y,z)=(0,0,1)$

Então vai para

$$\begin{eqnarray*} \rho &=& H | 0 \rangle \langle 0 | H\\ \end{eqnarray*}$$

Mas depois do CNOT é

$$\begin{eqnarray*} \rho &=& \text{Tr}_2 (\operatorname{CNOT}_{12} H | 0 0 \rangle \langle 00 | H \operatorname{CNOT}_{12}) \\ \end{eqnarray*}$$

$(x,y,z)=(0,0,0)$

$2\times 2$$d \neq 2$$d=2$$d$ou mais qubits. Não leve muito a sério essa parametrização específica, apenas permite plotar o estado de forma a transmitir rapidamente as informações visualmente.