Separando NP do BQP em relação a um oráculo

Eu estava olhando para esta nota de aula em que o autor faz uma separação entre oracle e . Ele sugere como "técnicas padrão de diagonalização podem ser usadas para tornar isso rigoroso". $\mathsf{BQP}$ $\mathsf{NP}$

Alguém pode detalhar uma técnica de diagonalização que deve ser usada? Intuitivamente, deve haver diferenças importantes entre as usadas para colocar algo fora das classes de complexidade clássica e as usadas para colocar algo fora de . Especificamente, dado que o algoritmo de Grover é ideal, estou procurando uma técnica de diagonalização para que possamos construir um oráculo para o qual . $\mathsf{BQP}$ $A$ $\mathsf{NP}^{A} \not\subseteq \mathsf{BQP}^{A}$

complexity-theory oracles

— BlackHat18
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Parece-me que os argumentos de diagonalização que podem ser usados são apenas ligeiramente diferentes dos argumentos padrão, por exemplo , os que podem ser encontrados nessas notas de aula sobre o Teorema de Baker – Gill – Solovay ( ou seja , que existem oráculos para os quais e também oráculos para os quais ). Basicamente, você deve descrever como 'projetar' uma entrada do adversário de maneira um pouco diferente. $A$ $\mathsf P^A = \mathsf{NP}^A$ $A$ $\mathsf P^A \ne \mathsf{NP}^A$

Veja como podemos usar essa abordagem para provar a existência de um oráculo para o qual . Para qualquer oráculo , defina um idioma Está claro que pela simples razão de que uma máquina de Turing não determinística pode examinar se a entrada tem o formato para alguns e, em seguida, adivinhar uma string para o qual se esse existir. O objetivo é mostrar que $A$ $\mathsf{NP}^A \not\subseteq \mathsf{BQP}^A$ $A$

L_{A} = {1^{n} | \exists z \in {0, 1}^{n} : A (z, 0) = (z, 1)} .

$L_A = \Bigl\{ 1^n \;\Big\vert\; \exists z \in \{0,1\}^n : A(z,0) = (z,1)\Bigr\} .$

L_{A} \in {N P}^{A}

$L_A \in \mathsf{NP}^A$

1^{n}

$1^n$

n

$n$

z \in {0, 1}^{n}

$z \in \{0,1\}^n$

A (z, 0) = (z, 1)

$A(z,0) = (z,1)$

z

$z$

L_{A}

$L_A$ não pode ser decidido em tempo polinomial, com erro limitado, por uma família de circuitos unitários uniforme, usando o limite inferior no problema de pesquisa.

O (2^{n / 2})

$O(2^{n/2})$

Seja tal que o problema de pesquisa em oráculos com entradas de bits exija pelo menos consultas oracle para decidir corretamente (com probabilidade de pelo menos 2/3), para todos os . $c,N > 0$ $n$ $c 2^{n/2}$ $n > N$
Vamos,, ser uma enumeração de todas as famílias unitárias de circuitos oracle , de modo que a sequência da porta do circuitoatuar em entradas de bits pode ser produzido em tempo estritamente menor que . (Esse tempo limite refere-se à condição de 'uniformidade', na qual estaremos interessados em circuitos podem ser calculados por uma máquina de Turing determinística em tempo polinomial - uma condição mais forte do que a que impomos aqui. A enumeração dessas famílias de circuitos poderia ser feita, por Por exemplo, representando-os indiretamente pelas máquinas determinísticas de Turing $\mathbf C^{(1)}\!$ $\mathbf C^{(2)}\!$ $\ldots$ $\mathbf C^{(k)} \!= \{ C^{(k)}_n \}_{n \geqslant 0 }$ $C^{(k)}_n\!$ $n$ $c 2^{n/2}$ $\mathbf T^{(k)}$ , que produzem as suas sequências de porta, e enumerando aqueles .) Nós enumerar as famílias de circuito de modo a que cada família circuito ocorre infinitamente muitas vezes na enumeração.
- A partir dos limites de tempo de execução na descrição da sequência do gate, segue-se, em particular, que possui menos de portas para todos os e, em particular, produz menos que consultas ao oráculo. $C^{(k)}_n$ $c 2^{n/2}$ $k$ $c 2^{n/2}$
- Para qualquer , considere o circuito. Pelo limite inferior do problema de pesquisa, sabemos que para existem valores possíveis da função oracle avaliada pelo oracle, como que com probabilidade 2/3, a saída produzida porna entrada não é a resposta correta para se . $n$ $C^{(n)}_n\!$ $n > N$ $f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}$ $C^{(n)}_n\!$ $1^n$ $\exists z \!\in\! \{0,1\}^n\!:\! f(z) \!=\! 1$
- Para cada , selecione a função para a qual "falha" dessa maneira. $n > N$ $f_n$ $C^{(n)}_n$
Seja um oráculo que, nas entradas de tamanho , avalia . $A$ $n > N$ $f_{\!\!\:n\!\:}$

Tendo construído dessa maneira, cada família de circuitos falha em decidir corretamente com probabilidade de pelo menos 2/3, para alguns (e infinitamente muitos desses de fato). Então, nenhuma das famílias de circuitos decide corretamente com probabilidade de sucesso limitada abaixo de 2/3 em todas as entradas, de modo que não possa ser resolvido com tais limites por nenhuma família uniforme de circuitos unitários construtível no tempo . $A$ $\mathbf C^{(n)}$ $L_A$ $n > N$ $n$ $\mathbf C^{(k)}$ $L_A$ $L_A$ $p(n)$

Assim, , a partir do qual se segue que . $L_A \notin \mathsf{BQP}^A$ $\mathsf{NP}^A \not\subseteq \mathsf{BQP}^A$

— Niel de Beaudrap
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