Galerkin descontínuo: vantagens e desvantagens de Nodal vs Modal

Existem duas abordagens gerais para representar soluções no método descontínuo de galerkin: nodal e modal.

1. Modal : As soluções são representadas por somas de coeficientes modais multiplicados por um conjunto de polinômios, por exemplo, onde geralmente é polinômio ortogonal , por exemplo, Legendre. Uma vantagem disso é que os polinômios ortogonais geram uma matriz de massa diagonal.$u(x,t) = \sum_{i=1}^N u_i(t) \phi_i(x)$$\phi_i$

2. Nodal : as células são compostas por vários nós nos quais a solução está definida. A reconstrução da célula é então baseada no ajuste de um polinômio interpolador, por exemplo, onde é um polinômio de Lagrange. Uma vantagem disso é que você pode posicionar seus nós em pontos de quadratura e avaliar rapidamente integrais.$u(x,t) = \sum_{i=1}^N u_i(x,t) l_i(x)$$l_i$

No contexto de uma aplicação paralela complexa / não estruturada 3D em larga escala e complexa ( - DOFs) com objetivos de flexibilidade, clareza de implementação e eficiência, quais são as vantagens e desvantagens comparativas de cada método?$10^6$$10^9$

Tenho certeza de que já existe uma boa literatura, por isso, se alguém pudesse me indicar algo que seria ótimo também.

As compensações abaixo se aplicam igualmente a DG e a elementos espectrais (ou elementos finitos de versão ).$p$

Alterar a ordem de um elemento, como na adaptabilidade , é mais simples para bases modais, porque as funções de base existentes não são alteradas. Isso geralmente não é relevante para o desempenho, mas algumas pessoas gostam mesmo assim. As bases modais também podem ser filtradas diretamente para algumas técnicas de anti-aliasing, mas isso também não é um gargalo de desempenho. As bases modais também podem ser escolhidas para expor a escarsidade dentro de um elemento para operadores especiais (geralmente as matrizes de Laplacian e de massa). Isso não se aplica a elementos variáveis ​​ou não afins, e as economias não são enormes para a ordem modesta normalmente usada em 3D.$p$

Bases nodais simplificam a definição de continuidade de elementos, simplificam a implementação de condições de contorno, contato e similares, são mais fáceis de plotar e levam a melhores$h$-elipticidade em operadores discretizados (permitindo assim o uso de smoothers / pré-condicionadores mais baratos). Também é mais simples definir conceitos usados ​​pelos solucionadores, como modos de corpo rígido (use apenas coordenadas nodais) e definir certos operadores de transferência de grade, como os que surgem em métodos multigrid. As discretizações incorporadas também estão prontamente disponíveis para pré-condicionamento, sem a necessidade de uma mudança de base. As discretizações nodais podem usar eficientemente a quadratura colocada (como nos métodos dos elementos espectrais), e a subintegração correspondente pode ser boa para a conservação de energia. O acoplamento entre elementos para equações de primeira ordem é mais escasso para as bases nodais, embora as bases modais sejam frequentemente modificadas para obter a mesma esparsidade.

Fiquei curioso para ver algumas respostas a essa pergunta, mas de alguma forma ninguém se incomoda em responder ...

Em relação à literatura, gosto muito do livro Métodos de elemento Spectral / hp para dinâmica de fluidos computacional (agora há uma versão mais barata de capa mole) e também do livro de Hesthaven e Warburton . Esses dois apresentam alguns detalhes que o ajudarão a implementar os métodos. O livro de Canuto, Hussaini, Quarteroni e Zang é mais teórico. Este também possui um segundo volume "Métodos espectrais: evolução para geometrias complexas e aplicações à dinâmica de fluidos".

Não trabalho nos métodos de DG e não sou especialista em julgar as vantagens de nodal vs. modal. O livro de Karniadakis & Sherwin é mais focado em métodos com expansões modais contínuas . Nesse tipo de método, você é obrigado a reordenar os modos em dois elementos vizinhos de maneira que os modos correspondentes na interface correspondam a fim de preservar a continuidade da expansão global. Além disso, a imposição de condições de contorno exige atenção extra, pois seus modos não estão associados a um local específico no contorno.

Espero que alguém familiarizado com esse tipo de método adicione mais detalhes.