Como lidar com a condição de contorno curvado ao usar o método das diferenças finitas?

Estou tentando aprender sobre resolver numericamente o PDE sozinho.

Estou começando com o método da diferença finita (FDM) há algum tempo, porque ouvi dizer que o FDM é o fundamento de vários métodos numéricos para o PDE. Até agora, eu tenho um entendimento básico do FDM e fui capaz de escrever códigos para alguns PDE simples, em regiões regulares, com os materiais que encontrei na biblioteca e na Internet, mas o mais estranho é que esses materiais que tenho geralmente falam pouco. sobre o tratamento de limites irregulares, curvos e estranhos, como este .

Além do mais, nunca vi uma maneira fácil de lidar com os limites curvos. Por exemplo, o livro Solução Numérica de Equações Diferenciais Parciais - Uma Introdução (Morton K., Mayers D) , que contém a discussão mais detalhada (principalmente em 3.4 da p71 e 6.4 da p199) que eu vi até agora, se voltou para uma extrapolação que é realmente pesada e frustrante para mim.

Então, como o título perguntou, quanto ao limite curvo, geralmente como as pessoas lidam com ele ao usar o FDM? Em outras palavras, qual é o tratamento mais popular para isso? Ou isso depende do tipo de PDE?

Existe uma maneira (pelo menos relativamente) elegante e de alta precisão para lidar com os limites curvos? Ou é apenas uma dor inevitável?

Eu até quero perguntar: as pessoas realmente usam o FDM para limites curvos hoje em dia? Caso contrário, qual é o método comum para isso?

Qualquer ajuda seria apreciada.

pde finite-difference boundary-conditions

— xzczd
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Respostas:

Respondendo à sua última pergunta primeiro, as pessoas realmente usam o FDM para limites curvos hoje em dia? Eu diria que a resposta é não. No mundo comercial de CFD, esquemas precisos de volumes finitos de 2ª ordem são o padrão de fato do setor. Uma das vantagens do FV (e elemento finito / galerkin descontínuo se aproxima de Jed mencionado) sobre o FD é o manuseio muito mais natural de limites complexos. O FD fornece a base de muitos métodos numéricos (FV incluído) e é necessário aprender como primeiro passo, mas não é aconselhável para problemas complexos em larga escala.

$(x,y)$ $\xi = \xi(x,y),\eta = \eta(x,y)$ $\Delta \xi = \Delta \eta = constant$ . Pode-se reescrever termos como

\frac{\partial você}{\partial x} = \frac{\partial você}{\partial ξ} \frac{\partial ξ}{\partial x} + \frac{\partial você}{\partial η} \frac{\partial η}{\partial x}

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial \xi} \frac{\partial \xi}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial \eta} \frac{\partial \eta}{\partial x}$

$\frac{\partial (\xi,\eta)}{\partial (x,y)}$ $u$

Eu diria que essa abordagem de grade ajustada ao corpo é o "tratamento mais popular" para lidar com limites curvos no DF, com a ressalva de que os próprios métodos de DF não são mais "populares" para aplicações complexas. É raro vê-los ainda aparecer na literatura sobre CFD, exceto em domínios muito simples.

— Aurelius
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Sua afirmação "Eu diria que a resposta é não" não está correta. Visbal e Gaitonde trabalham extensivamente com FD de ordem superior no código FDL3DI . Além disso, o código OVERFLOW da NASA é um código FD (tanto quanto eu sei / posso dizer).

— Brian Zatapatique

O OVERFLOW era originalmente puramente FD, mas agora geralmente usa a divisão de fluxo FV (AUSM, HLLC, etc., no capítulo 1 do seu link.) Também é definitivamente um código "legado". Esse link FDL3DI é do trabalho nos anos 90, quando o trabalho com elementos finitos de alta ordem / DG estava em sua infância e não havia nenhum esquema de volume finito viável e preciso de alta ordem. Acho que seria difícil convencer alguém em 2013 a começar o desenvolvimento de um código com base na estratégia compacta de diferenças finitas desse trabalho. Por mais elegante que seja, é muito restritivo para aplicativos.

— Aurelius

Eu discordo da generalidade de sua afirmação de que não é aconselhável usar o FD para problemas complexos em larga escala. Atualmente, as pessoas no HPC tendem a reformular seus esquemas de elementos finitos de maneira semelhante ao estêncil e usar grades (semi) estruturadas para implementar eficientemente solucionadores sem matriz para computação em escala extrema. Assim, por mais antiquados que sejam, as pessoas ainda querem usar diferenças finitas. Sem mencionar que existem aplicativos em que você pode se dar bem com malhas estruturadas. Para geometrias complexas, o padrão FD é doloroso e talvez seja isso que você queria afirmar.

— Christian Waluga

Para geometrias curvas simples, o FD de alta ordem conquistará os métodos de diferença espectral / volume, reconstrução de fluxo ou DG de alta ordem com base na eficiência (precisão / tempo). Para os mais complexos, a geração de grade pode ser uma dor de cabeça suficiente para fazer você tentar abordagens alternativas. Não se deve esquecer que a considerável flexibilidade dos métodos mencionados acima tem um custo considerável, veja este artigo de Loehner . Essa é uma das razões pelas quais FDL3DI e OVERFLOW ainda veem o uso.

— Brian Zatapatique

@ChristianWaluga sim, é basicamente isso que eu estava tentando afirmar. Obviamente, as idéias de FD encontram seu caminho em outras aplicações (por exemplo, gradientes em FV sendo calculados por diferenças finitas) e em certas áreas como DNS em geometrias simples, você as usa. Mas, para códigos de uso geral, a tendência nas últimas duas décadas ficou bastante clara do DF puro.

— Aurelius

Os limites curvos são cobertos na maioria dos livros de CFD, por exemplo, Capítulo 11 de Wesseling ou Capítulo 8 de Ferziger e Peric .

Embora não seja um problema teórico fundamental, a complexidade prática da implementação de condições de limite para métodos de alta ordem em limites curvos é uma razão significativa para o interesse em métodos mais flexíveis geometricamente, como o método dos elementos finitos (incluindo Galerkin descontínuo). Diferenças finitas estruturadas e grades de volume finito ainda são usadas em algumas simulações de CFD, mas os métodos não estruturados estão ganhando popularidade e as operações locais usadas por métodos não estruturados de alta ordem são realmente bastante eficientes e, portanto, podem não sofrer muita perda de eficiência em comparação com DF semelhante. métodos. (De fato, a flexibilidade geométrica geralmente os torna mais eficientes.)

— Jed Brown
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Ótima resposta Jed. Há uma explicação passo a passo de como tratar BC irregulares em um problema de fluidos encontrado em minha tese p38-46. Francamente, é uma grande dor A * # fazer isso nas formulações de FD. O insight importante a ser tomado é que os BCs curvos podem ser aproximados por um grande número de retos infinitesimais.

— meawoppl

Eu trabalhei em alta precisão fdm nos últimos n anos. e usei a equação eletrostática -2 dim laplace como exemplo para desenvolver explicitamente os algoritmos de alta precisão. até cerca de 4 anos atrás, os problemas eram construídos com pontos de linhas horizontais ou verticais de potencial descontinuidade. se você pesquisar no google meu nome e fdm de alta precisão, deverá encontrar as referências. mas essa não é sua pergunta. sua pergunta é fdm e limites curvos. há cerca de um ano, apresentei uma solução de ordem 8 em hong kong (consulte Um método de diferença finita para eletrostática simétrica cilíndrica com limites curvilíneos), que criou algoritmos de ordem 8 para pontos interiores próximos ao limite e estes exigiriam, obviamente, pontos do outro lado do limite. os pontos do outro lado da fronteira foram colocados ali simplesmente estendendo a malha para o outro lado. Tendo feito isso, a pergunta era como você encontra os valores desses pontos ao relaxar a malha. isso foi realizado através da integração do limite (potencial conhecido) até o ponto usando os algoritmos. foi razoavelmente bem-sucedido e razoavelmente preciso ~ <1e-11, MAS exigiu 103 algoritmos, cada um criado individualmente e foi um pouco quebradiço; geometrias instáveis foram encontradas. Para remediar o problema acima, foi encontrada uma solução (ordem 8 e abaixo) usando (um!) algoritmo mínimo e a solução exibe uma robustez considerável. foi enviado, mas estaria disponível como uma pré-impressão por e-mail. Acredito que essa técnica seria extensível a Pdes independentes do tempo (linear requerido) que não sejam laplace e a dimensões maiores que 2. Não considerei o problema dependente do tempo, mas a técnica que é uma técnica de série de potência deve ser adaptável e aplicável. david

— david
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Se você pudesse enviar seu trabalho para um servidor de pré-impressão (como o arXiv, por exemplo) e depois vincular a ele aqui, isso melhoraria sua resposta. De um modo geral, as respostas não devem conter endereços de email. Também o encorajo a tornar sua resposta mais concisa.

— precisa