O aspecto mais importante da interpolação e do ajuste de curvas é entender por que os ajustes polinomiais de alta ordem podem ser um problema e quais são as outras opções e então você pode entender quando elas são / não são uma boa escolha.
Alguns problemas com polinômios de alta ordem:
Polinômios são funções naturalmente oscilatórias. À medida que a ordem do polinômio aumenta, o número de oscilações aumenta e essas oscilações se tornam mais graves. Estou simplificando aqui, a possibilidade de raízes múltiplas e imaginárias o torna um pouco mais complexo, mas o ponto é o mesmo.
Os polinômios se aproximam de +/- infinito a uma taxa igual à ordem polinomial conforme x vai para +/- infinito. Isso geralmente não é um comportamento desejado.
A computação de coeficientes polinomiais para polinômios de alta ordem é tipicamente um problema mal condicionado. Isso significa que pequenos erros (como arredondamento no computador) podem criar grandes alterações na resposta. O sistema linear que deve ser resolvido envolve uma matriz de Vandermonde que pode ser facilmente condicionada.
Penso que talvez o cerne desta questão seja a distinção entre ajuste de curva e interpolação .
A interpolação é usada quando você acredita que seus dados são muito precisos e deseja que sua função corresponda exatamente aos pontos de dados. Quando você precisa de valores entre os pontos de dados, normalmente é melhor usar uma função suave que corresponda à tendência local dos dados. As splines cúbicas ou Hermite costumam ser uma boa opção para esse tipo de problema, pois são muito menos sensíveis a alterações ou erros não locais (ou seja, em pontos de dados distantes de um determinado ponto) nos dados e são menos oscilantes que um polinômio. Considere o seguinte conjunto de dados:
x = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y = 1 1 1.1 1 1 1 1 1 1 1
Um ajuste polinomial tem oscilações muito maiores, especialmente próximas às bordas do conjunto de dados, do que um spline Hermite.
Por outro lado, a aproximação dos mínimos quadrados é um ajuste de curvatécnica. O ajuste de curva é usado quando você tem alguma idéia da funcionalidade esperada de seus dados, mas não precisa que sua função passe exatamente por todos os pontos de dados. Isso é típico quando os dados podem conter erros de medição ou outras imprecisões ou quando você deseja extrair a tendência geral dos dados. A aproximação dos mínimos quadrados é mais frequentemente introduzida em um curso usando polinômios para o ajuste da curva, pois isso resulta em um sistema linear que é relativamente simples de resolver usando as técnicas que você provavelmente aprendeu anteriormente no curso. No entanto, as técnicas de mínimos quadrados são muito mais gerais do que apenas ajustes polinomiais e podem ser usadas para ajustar qualquer função desejada a um conjunto de dados. Por exemplo, se você espera uma tendência de crescimento exponencial no seu conjunto de dados,
Finalmente, escolher a função correta para ajustar seus dados é tão importante quanto executar corretamente os cálculos de interpolação ou mínimos quadrados. Fazer isso ainda permite a possibilidade de extrapolação (cautelosa). Considere a seguinte situação. Dados da população (em milhões de pessoas) para os EUA de 2000 a 2010:
Year: 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2010
Pop.: 284.97 287.63 290.11 292.81 295.52 298.38 301.23 304.09 306.77 309.35
O uso de um ajuste de mínimos quadrados linearizados exponenciais N(t)=A*exp(B*t)ou um interpolante polinomial de 10ª ordem fornece os seguintes resultados:
O crescimento populacional dos EUA não é exatamente exponencial, mas deixarei que você seja o juiz do melhor ajuste.