Funções periódicas de Green em métodos de equações integrais em diferentes regimes de frequência

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Estou perguntando sobre a solução da equação de Helmholtz em um domínio periódico com velocidade de onda constante por partes em diferentes regimes de frequência. Uma abordagem possível é resolver esse problema: escrever equações integrais nas superfícies de contorno em termos da função de Green do sistema. Como o domínio é periódico, essa será uma função periódica de Green como onde é um vetor de treliça e é algo como

G (r, r^{'}) = \sum_{L} G_{0} (r, r^{'} + L)

$G(r,r') = \sum_L G_0(r,r'+L)$

L

$L$

G_{0}

$G_0$

Minha pergunta diz respeito a como o custo computacional desse método é escalonado com a frequência (

). Torna-se computacionalmente mais difícil em frequências baixas ou altas devido à necessidade de incluir mais termos na soma da rede?

G_{0} (r, r^{'}) = \frac{e^{i k (r - r^{'})}}{| r - r^{'} |}

$G_0(r,r') = \frac{e^{ik(r-r')}}{|r-r'|}$

k

$k$

Edit : As pessoas parecem estar respondendo a perguntas diferentes do que estou perguntando. Devo esclarecer que não estou interessado em implementar esse método. Estou apenas perguntando sobre as dificuldades teóricas, como pano de fundo para entender os pontos fortes e (mais) a fraqueza do método em diferentes regimes de frequência. Os tipos de problemas que tenho em mente são (mais ou menos) modos de computação de matrizes periódicas de guias de onda.

integral-equations helmholtz-equation

— Victor Liu
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As propriedades de decaimento da função de Green dependem, entre outras coisas, dos coeficientes em suas equações. Por exemplo, as guias de ondas de baixa dimensão normalmente transportam informações por longas distâncias, e você pode precisar adicionar muitos termos para obter uma boa precisão.

Alternativas são escrever a função de Green como uma soma de senos e cossenos que já satisfazem as condições periódicas de contorno ou como uma soma de funções próprias do operador.

— Wolfgang Bangerth
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Embora eu nunca tenha implementado isso pessoalmente, a sabedoria convencional que ouvi é que o somatório espacial converge muito lentamente e é preferível usar a transformação de Ewald, por exemplo, http://w3.uniroma1.it/lovat/giampiero/Documentipdf/IJ24 .pdf

Provavelmente existem muitos documentos sobre esse assunto nas transações do IEEE.

— rchilton1980
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