Um determinante minúsculo implica mau condicionamento de uma matriz?

Se eu tenho uma matriz quadrada invertível e tomo seu determinante, e acho que , isso implica que a matriz está mal condicionada? $\det(A) \approx 0$

O inverso também é verdadeiro? Uma matriz mal condicionada tem um determinante quase zero?

Aqui está algo que eu tentei no Octave:

a = rand(4,4);
det(a) %0.008
cond(a)%125
a(:,4) = 1*a(:,1) + 2*a(:,2) = 0.000000001*ones(4,1);
det(a)%1.8E-11
cond(a)%3.46E10

linear-algebra condition-number

— Inquérito
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O determinante mostra se uma matriz é regular ou singular. Não mostra se está bem ou mal condicionado.

— Allan P. Engsig-Karup

A magnitude do determinante não pode refletir o mau condicionamento: mas .

κ (A) = κ (A^{- 1})

$\kappa(A)=\kappa(A^{-1})$

det (A^{- 1}) = (det A)^{- 1}

$\det (A^{-1})=(\det A)^{-1}$

— faleichik

Deve haver um ou algum lugar?

\approx

$\approx$

\neq

$\ne$

— Inquérito

Se você estiver interessado em aprender mais sobre os efeitos da matemática de ponto flutuante nos espectros de matriz, consulte o livro de Nick Trefethen: Spectra and Pseudospectra: O Comportamento de Matrizes e Operadores Não Normais e o Pseudospectra Gateway .

— Aron Ahmadia

Respostas:

É a grandeza do número de condição que mede a proximidade da singularidade, não a pequenez do determinante. $\kappa(\mathbf A)$

Por exemplo, a matriz diagonal possui determinante minúsculo, mas está bem condicionada. $10^{-50} \mathbf I$

Por outro lado, considere a seguinte família de matrizes triangulares quadradas superiores, devido a Alexander Ostrowski (e também estudado por Jim Wilkinson):

U = (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & 2 \\ 1 & ⋱ & ⋮ \\ ⋱ & 2 \\ 1 \end{matrix})

$\mathbf U=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&2\\&1&\ddots&\vdots\\&&\ddots&2\\&&&1\end{pmatrix}$

O determinante da matriz é sempre , mas a proporção do maior para o menor valor singular (ou seja, o número da condição de 2 normas ) foi mostrado por Ostrowski como sendo , o que pode ser visto aumentando com o aumento de . $n\times n$ $\mathbf U$ $1$ $\kappa_2(\mathbf U)=\dfrac{\sigma_1}{\sigma_n}$ $\cot^2\dfrac{\pi}{4n}$ $n$

— JM
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@ Não tóxico: certamente não; antes de iniciar os detalhes, você já está familiarizado com a decomposição de valor singular?

— JM

Muito bom. É tudo o que você precisa saber. A idéia é que informações muito importantes sobre o condicionamento estejam concentradas em . Em particular, você deve procurar os valores maiores e menores (lembre-se de que a decomposição é definida de modo que as entradas diagonais de sejam não-negativas) na diagonal da matriz. A proporção entre a maior e a menor entrada diagonal é o número da condição . O tamanho do número de condição que você deve se preocupar com depende da máquina em seu trabalho ...

Σ

$\mathbf \Sigma$

Σ

$\mathbf \Sigma$

κ

$\kappa$

— JM

... mas, em geral, ao resolver equações lineares com essa matriz, você perde os dígitos base- em sua solução. Essa é uma regra prática para o número da condição; portanto, se você estiver trabalhando com apenas 16 dígitos, um de deve ser motivo de preocupação.

\approx \log_{b} κ

$\approx \log_b \kappa$

b

$b$

κ

$\kappa$

10^{1} 3

$10^13$

— JM

Sim, mas esse não é o método recomendado para determinar o número da condição (cuja explicação é para outra pergunta). Presumo que você saiba como inverter uma matriz diagonal, não?

— JM

"Infelizmente, a perda de dígitos, você poderia me dar uma referência para isso?" - Eu poderia, mas essa é realmente uma daquelas coisas que você deveria experimentar por conta própria em um ambiente de computação para reforço.

— JM

Como , o determinante pode ser arbitrariamente grande ou pequeno através de um simples redimensionamento (que não altera o número da condição). Especialmente em altas dimensões, mesmo a escala por um fator inocente de 2 altera o determinante em uma quantidade enorme. $\det(kA)=k^n\det A$

Portanto, nunca use o determinante para avaliar a condição ou a proximidade da singularidade.

Por outro lado, para quase todos os problemas numéricos bem colocados, a condição está intimamente relacionada à distância da singularidade, no sentido da menor perturbação relativa necessária para tornar o problema mal colocado. Em particular, isso vale para sistemas lineares.

— Arnold Neumaier
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