Como impor condições de contorno em métodos de diferenças finitas

Tenho um problema quando quero usar a aproximação das diferenças de centro de ordem superior:

(\frac{- u_{i + 2, j} + 16 u_{i + 1, j} - 30 u_{i, j} + 16 u_{i - 1, j} - u_{i - 2, j}}{12})

$\left(\frac{-u_{i+2,j}+16u_{i+1,j}-30u_{i,j}+16u_{i-1,j}-u_{i-2,j}}{12}\right)$

para a equação de Poisson

em um domínio quadrado no qual as condições de contorno são:

(u_{x x} + u_{y y} = 0)

$(u_{xx}+u_{yy}=0)$

u (0, y) = u (x, 0) = u (x, 1) = 0, u (1, y) = \sin π y

$u(0,y)=u(x,0)=u(x,1)=0,u(1,y)=\sin \pi y$

Δ x = Δ y = 0.1

$\Delta{x}=\Delta{y}=0.1$

Quando eu quero obter o valor dos pontos internos do domínio, considerando essa aproximação, alguns pontos dependem dos pontos externos do limite. Por exemplo, precisa ter o valor de um ponto que está fora dos limites. Alguém pode me ajudar neste caso? $u_{1,1}$ $u_{i-2,j}=u_{-1,0}$

pde finite-difference

— liona
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Presumo que você esteja usando condições de contorno de dirichlet, correto?

— Paul

Por favor, indique as condições de contorno que você gostaria de impor.

— David Ketcheson

Talvez a chave esteja no uso de condições de contorno para obter restrições envolvendo esses valores. Não consigo expandir porque nunca tentei resolver numericamente um PDE, mas essa ideia funciona para ODEs. Alguém pode confirmar isso?

— Astrojuanlu

Com métodos de alta ordem, pode ser difícil garantir a estabilidade do método preenchendo células fantasmas dessa maneira. Dito isto, os problemas elípticos costumam ser mais tolerantes com a minha experiência, portanto você pode se safar disso.

— Jeremy Kozdon

liona, você pode editar sua pergunta e adicionar as condições de contorno, o que é muito melhor do que colocá-las nos comentários.

— David Ketcheson

Respostas:

Você pode procurar métodos de diferença finita de somatória por partes (SBP). Ken Mattsson trabalhou muito nesses métodos. Um bom lugar para começar é aqui (coeficientes constantes) e aqui (coeficientes variáveis).

Basicamente, a maneira como esses métodos funcionam é que eles são os métodos centrais padrão no interior e a transição para um lado perto do limite. Uma parte importante da tecnologia SBP é que a transição para um lado é tal que a estabilidade do método para problemas dependentes do tempo pode ser comprovada mesmo após a inclusão de condições de contorno. (Isso é possível porque os próprios operadores "definem" uma norma que imita discretamente a integração por partes.)

Você diz que está olhando para a equação de Poisson. Não tenho muita certeza de como as condições de contorno são incluídas de forma estável nos operadores de SBP e nas equações elípticas. Eu tenho um colega que brincou com eles por problemas elípticos e parece indicar que realmente não importa o que você faz.

— Jeremy Kozdon
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Existem outros estênceis que você pode usar para obter uma precisão de ordem alta perto dos pontos de limite. Seu estêncil atual tem o formato:

$Au_{i+2,j} + Bu_{i+1,j} + Cu_{i,j}+Du_{i-1,j}+Eu_{i-2,j}$

Mas você também pode usar um estêncil diferente perto do limite desta forma:

$Au_{i+3,j} + Bu_{i+2,j}+Cu_{i+1,j}+Du_{i,j} +Eu_{i-1,j}$

$u_{1,1}$

Da mesma forma, você pode aproximar o valor no limite oposto por uma fórmula semelhante.

— Paulo
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u_{1, 1}

$u_{1,1}$

Como posso obter os coeficientes?

— liona

Para entender como derivar fórmulas de diferenças finitas, uma boa referência é o capítulo 1 do livro de Leveque: faculty.washington.edu/rjl/fdmbook . Isso equivale a séries de Taylor e um pouco de álgebra.

— David Ketcheson

O (h^{2})

$O(h^2)$

O (h^{2})

$O(h^2)$

A U (x + h)

$AU(x+h)$

B U (x)

$BU(x)$

C U (x - h)

$CU(x-h)$

D U (x - 2 h)

$DU(x-2h)$

E U (x - 3 h)

$EU(x-3h)$

U_{x x}

$U_{xx}$

-4

por favor, veja meu documento fdm que você pode localizar no Researchgate sob meu nome david Edwards jr. Se você tiver alguma dúvida, ficarei feliz em ajudar.

david

— david
fonte

Simplesmente dar instruções para que as pessoas pesquisem em outros lugares não é uma resposta útil. No mínimo, você deve fornecer um resumo da resposta aqui e um link para mais detalhes. Além disso, muitos de nós discordam da maneira como o ResearchGate é executado e, portanto, evitam todas as interações com esse site, tornando impossível ver seu artigo com o método sugerido.

— Doug Lipinski

Revise sua resposta para incluir um resumo de qualquer histórico que você achar necessário para responder à pergunta. As respostas devem ser relativamente independentes; encaminhar um leitor para procurar seu trabalho não é independente e é muito menos útil do que fornecer um resumo de seu conteúdo.

— Geoff Oxberry