Existem métodos aprimorados de calcular a seguinte expressão?

dada uma matriz simétrica , e uma matriz arbitrária , e um vetor , é possível calcular a seguinte expressão no tempo ? $Y \in \mathbb{R}^{n \times n}$ $X \in \mathbb{R}^{n \times n}$ $v \in \mathbb{R}^{n \times 1}$ $O(n^2)$

d i a g (X^{T} Y X) \cdot v

$diag(X^TYX) \cdot v$

onde retorna um matriz com os seus principais elementos diagonais iguais aos dos e elementos fora da diagonal igual a 0, e é a transposta de . $diag(X)$ $n \times n$ $X$ $X^T$ $X$

— John Smith
fonte

Observação rápida:

é inútil: a questão é equivalente a "é possível calcular

?". Não sei a resposta, mas acho que não .

v

$v$

diag (X^{T} Y X)

$\operatorname{diag}(X^TYX)$

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Federico Poloni

Eu acho que

pode ter algum papel na redução do custo, porque se considerarmos o cálculo de

, é possível ser calculado com

seguinte maneira:

. Mas quando

é usado, eu aprecio que alguém possa me dar uma mão.

v

$v$

(X^{T} Y X) v

$(X^T Y X) v$

O (n^{2})

$O(n^2)$

X^{T} (Y (X v))

$X^T (Y (X v))$

d i a g

$diag$

— John Smith

Para a diagonal

, o produto

pode ser calculado em

tempo. Suponho que seja possível que a estrutura do produto vetorial possa ser explorada, mas duvido. Se você pudesse calcular uma matriz

no tempo

tal que

, certamente esse produto vetorial seria útil.

D

$D$

D v

$Dv$

O (n)

$O(n)$

Z

$Z$

O (n^{2})

$O(n^{2})$

d i a g (X^{T} Y X) = X^{T} Y X - Z

$diag(X^{T}YX) = X^{T}YX - Z$

— precisa saber é o seguinte

Parece difícil encontrar esse

Z

$Z$

O (n^{2})

$O(n^2)$

— John Smith

Eu insisto:

é inútil. Se você tiver um procedimento que calcule

no tempo

, também poderá calcular

no tempo

: basta escolher

como o vetor de todos. A redução oposta também é clara.

v

$v$

diag (X^{T} Y X) v

$\operatorname{diag}(X^TYX)v$

O (n^{2})

$O(n^2)$

diag (X^{T} Y X)

$\operatorname{diag}(X^TYX)$

O (n^{2})

$O(n^2)$

v

$v$

— Federico Poloni

Deixe-me tentar ajudar, mas, por favor, corrija-me se estiver errado, porque estou tirando isso do meu chapéu:

Vou apenas expandir o cálculo para ajudar a ver o que está acontecendo.

Vamos escrever $A = (X^TY)$

assim que você quer computação para cada $\sum_k{a_{ik}x_{ki}\nu_i}$ $i$

e $a_{ik}=\sum_l{x_{li}y_{lk}}$

que é. $\left(diag(X^TYX)⋅v\right)_i =\sum_k{\sum_l{x_{li}y_{lk}}x_{ki}\nu_i}$ $O(n^3)$

$Y$ $y_{lk}=y_{kl}$ $x_{li}x_{ki}$ $k$ $l$

$\left(diag(X^TYX)⋅v\right)_i = 2\times\sum_k{\sum_{l>k}{x_{li}y_{lk}}x_{ki}\nu_i} + \sum_{k}{x_{ki}y_{kk}x_{ki}\nu_i}$

$n$ $\frac{n(n+1)}{2}$ $2$ $n$

— Jean Mercat
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