Cálculo do polinômio característico da matriz esparsa real

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Dada uma matriz esparsa genérica com ~~m << n~~ (correção: ) elementos diferentes de zero (normalmente ). é genérico no sentido de que não possui propriedades específicas (por exemplo, definição positiva), e nenhuma estrutura (por exemplo, bandagem) é assumida. $A \in \mathbb{R}^{n\times n}$ $m \ll n^2$ $m \in {\cal O}(n)$ $A$

Quais são alguns dos bons métodos numéricos para calcular o polinômio característico ou o polinômio mínimo de ? $A$

linear-algebra algorithms sparse-matrix

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Parece que você deseja calcular todos os valores próprios. Por que você deseja o polinômio e como deseja que ele seja expresso? A base monomial é extremamente mal condicionada; portanto, os coeficientes provavelmente não podem ser calculados de maneira estável na aritmética de precisão finita.

— precisa

@JedBrown mais uma contemplação. Na minha resposta a essa pergunta , dei um método algébrico para a inversão de uma matriz, que é bem conhecida na álgebra computacional (por exemplo, matrizes sobre anéis e campos comutativos). Eu quero saber se eu poderia usá-lo para matrizes numéricas. Observe que, para fins desta pergunta, estou interessado em métodos numéricos para encontrar a característica / polinômio mínimo em vez de inverso.

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$O(n^3)$

A idéia é bastante direta: a matriz é gradualmente reduzida à forma normal de Frobenius por transformações de similaridade "semelhantes a eliminação gaussiana". Se você não encontrar as informações, posso tornar o algoritmo mais elaborado.

— faleichik
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Você pode usar um método numérico como fatoração QR ou método de potência e seus reais (potência inversa etc.) para calcular os autovalores de sua matriz genérica. Depois disso, você pode calcular seu polinômio característico por fatoração como: (λ-λ1) (λ-λ2) ... (λ-λn) = 0 onde λi são os autovalores calculados. Aqui está uma breve apresentação sobre os métodos de potência e QR:

QR-Power

— chemeng
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$m \ll O(n^2)$ $m \ll O(n)$ $n$ $O(m)$

— Wolfgang Bangerth
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m ≪ n^{2},

$m \ll n^2,$

m \in O (n)

$m \in {\cal O}(n)$