Eu sei que podemos usar técnicas de análise matemática para provar se um IVP ou BVP tem uma solução, é único e depende continuamente dos valores limite / iniciais. Para alguns PDEs, principalmente PDDs não lineares, é muito difícil, se não impossível, provar a boa postura. Existe algum tipo de técnica numérica para verificar se um problema está bem colocado ou não?
Um esquema numérico pode ser usado para determinar a boa posição de um problema de valor inicial ou de limite?
Respostas:
Em geral, não. Às vezes, uma solução numérica pode ser usada como uma medida aproximada para indicar se as condições de contorno são suficientes, para identificar domínios "flutuantes", por exemplo, mas há muitos casos em que soluções discretas fornecem informações totalmente enganosas sobre o problema de continuum.
A difusão de advecção requer uma condição de limite em todos os limites, mas sistemas discretos não podem usar nenhuma condição de limite no fluxo de saída (não uma condição Neumann homogênea, eu realmente quero dizer nenhuma condição de limite). Além disso, é mais preciso que a representação discreta da condição de contorno do continuum. Veja Papanastasiou, Malamataris e Ellwood 1992 e Griffiths 1997 para obter detalhes. Uma condição de contorno semelhante também é importante para o deslizamento em superfícies curvas, ver Behr 2004 .
O "fenômeno carbúnculo" afeta certos métodos de fluxo compressível. Não é muito bem compreendido, mas esquemas numéricos aparentemente robustos podem convergir para soluções falsas. Um exemplo de Robinet et al. 2000
Soluções falsas para Navier-Stokes incompressível, dentro de um regime laminar. Um exemplo simples de cavidade acionada por tampa é dado em Schreiber e Keller 1983 .
Sistemas de leis de conservação hiperbólica com tamanho relativo não físico da dissipação numérica. Alguma dissipação numérica é sempre necessária, mas métodos robustos (por exemplo, Godunov) podem convergir sistematicamente para resultados incorretos se a dissipação numérica acabar não sendo física. Um exemplo simples é dado em Mishra e Spinolo 2011onde o método padrão de Godunov converge para um resultado incorreto para água rasa linearizada 1D. Isso se apresenta de uma forma mais profunda na simulação de grandes redemoinhos. A viscosidade do redemoinho é uma manifestação física de escalas de sub-grade, mas se a dissipação numérica (inevitável) for maior que a dissipação física, a simulação poderá convergir para resultados sistematicamente incorretos. Na prática, os fechamentos de sub-grade para viscosidade por redemoinho são muito importantes. É uma questão de adotar um limite singular ao longo do caminho (físico) correto.
Efeitos de bloqueio nos modos de elasticidade ou tabuleiro de damas em fluxo incompressível. Isso se deve à escolha de um espaço de aproximação instável e agora é muito bem compreendido, pelo menos para problemas lineares, mas contar com uma solução numérica para deduzir a boa postura pode levar você a concluir que o limite incompressível estava incorreto.