Quantas magnitudes de Fourier eu tenho que calcular antes que uma FFT se torne mais eficiente que uma DFT?

Eu preciso calcular apenas um pequeno número de componentes de Fourier de baixa frequência de uma matriz bidimensional complexa. Estarei computando os mesmos componentes de Fourier repetidamente conforme a matriz de entrada muda. Claramente, no limite em que eu quero apenas um componente de Fourier, seria mais rápido construir uma matriz DFT que fornece o componente que eu estou procurando e multiplicar por essa matriz repetidamente.

No outro limite, se eu quisesse todos os componentes de Fourier, seria mais rápido usar uma FFT.

Em que momento fica mais rápido calcular a FFT da matriz e simplesmente retirar os componentes que estou procurando?

Se isso faz diferença, na minha situação particular, a matriz de entrada será algo como . Estou usando o MATLAB, o que significa que minha FFT é feita usando FFTW, e uma multiplicação de matrizes para uma DFT de matriz é feita por qualquer algoritmo de multiplicação de matrizes que o MATLAB usa sob o capô. $256\times256$

matlab fourier-analysis

— Colin K
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Primeiro, apenas uma observação: o DFT é a transformação matemática e o FFT é um algoritmo rápido para computá-los; por DFT, parece-me que você quer dizer a implementação direta da expressão discreta da transformação de Fourier. Segundo: você não precisa do inverso? Nesse caso, você só pode implementar a transformação para os elementos necessários.

— Fcruz 02/04/12

Sim, estou ciente da distinção entre a DFT e a FFT. Talvez a maneira como usei os termos não seja comum além de mim e de meus colegas. O que você disse é essencialmente correto: uso o termo "DFT" para me referir a algum cálculo direto de um ou mais coeficientes de Fourier. A FFT, embora eficiente, é restrita à computação de frequências de DC a duas vezes a frequência de Nyquist, com um espaçamento de amostra de 1 / N, em que N é o tamanho da matriz. Um DFT em geral é capaz de calcular um subconjunto dessas frequências, ou mesmo intermediárias (k / N para k não inteiro), mas não é tão eficiente.

— Colin K

@ fcruz: Além disso, "implementar a transformação apenas para os elementos que eu preciso" é exatamente o que essa pergunta trata. Estou perguntando quantos elementos posso calcular por uma DFT antes que simplesmente seja mais rápido fazer a FFT inteira e depois jogar fora os valores que não preciso. A resposta que rcompton deu parece estar bastante correta nesse ponto.

— Colin K

Respostas:

Muito e muito trabalho foi implementado em boas implementações de fft e é improvável que você seja capaz de superar com êxito uma boa biblioteca de fft. Por exemplo, o fftw "se adapta automaticamente à sua máquina, ao seu cache, ao tamanho da sua memória, ao número de registros e a todos os outros fatores que normalmente tornam impossível otimizar um programa para mais de uma máquina" ref nesta página .

Você está certo de que há situações em que é mais rápido calcular apenas alguns produtos pontuais, mas isso depende muito do sistema.

Um experimento:

EDU>> n = 256^2;
EDU>> x = randn(n,1);
EDU>> d = randn(1,n); %really, you should take a row from the output of the dftmtx command. But dftmtx(n) won't fit on my laptop...
EDU>> tic;d*x;toc; %time to compute a single frequency from the dft matrix
Elapsed time is 0.000225 seconds.
EDU>> tic;fft(x);toc; %time to compute the entire fft
Elapsed time is 0.003909 seconds.

Portanto, quando há 4096 pontos de dados computando o fft inteiro, leva apenas ~ 17x mais tempo do que o cálculo de um único produto pontual.

— dranxo
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Qual é o inicial "17." no seu post?

— Shuhalo

Essa é a resposta :) Fiz um teste em minha própria máquina e o resultado obtido concorda com isso, mais ou menos, até que o tamanho da matriz de entrada chegue a 64 ou menos. A resposta como um todo, embora não seja muito clara, é por isso que ainda não a aceitei (por exemplo, não deveria haver necessidade de produzir dftmtx (256 ^ 2)!), Mas em breve ninguém mais entra na conversa.

— Colin K

Como alternativa, você pode usar o algoritmo de Goertzel para calcular diretamente os componentes de frequência nos quais está interessado.

— eglaser
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+1. Definitivamente uma boa sugestão. No entanto, para minha grande surpresa, o algoritmo goertzel incluído no Matlabs Signal Processing Toolkit é lamentavelmente lento. É pior que o DFT e o FFT para qualquer combinação de tamanho da matriz de entrada e número de valores de saída que eu possa testar.

— Colin K

Eu suspeito que, embora o próprio algoritmo possa ser computacionalmente mais eficiente em alguns casos, a implementação do Matlab é escrita em puro Matlab, enquanto a FFT e a matriz multiplicada usada na DFT são escritas em C. altamente otimizado.

— Colin K

No caso da Goertzel alg., Uma discussão sobre sua eficiência algorítmica comparada à FFT foi abordada nesta parte da aula do curso discreto de sinal de tempo no MIT.

— Fcruz 5/04

A implementação ingênua do algoritmo de Goertzel pode gerar resultados imprecisos, portanto, alguns cuidados são necessários. Pode-se considerar o uso da modificação proposta por Christian Reinsch. Veja, por exemplo, a discussão em Bulirsch / Stoer .

— JM