O método de linhas pode ser usado para discretizar todos os PDEs?

Eu descobri que o método das linhas é uma maneira muito natural de pensar na discretização dos PDE's. Portanto, eu sempre adotei essa mentalidade quando apresentado a um novo conjunto de equações. Eu nunca vi um PDE em que isso não funcionasse.

O que eu quero saber é se existem métodos de discretização (ou tipos de PDEs) que não podem ser formulados através do método de linhas. Espero que qualquer PDE em que a derivada de tempo esteja implícita na equação e não possa ser resolvida seja um desses casos (embora eu não conheça nenhum exemplo real disso). Estou procurando um raciocínio sobre por que o método de linhas é sempre aplicável ou um exemplo contrário.

Uma situação em que a abordagem usual do método de linhas não pode ser usada de maneira direta é com equações que misturam derivadas espaço-temporais. aplicação de um método Runge-Kutta ou multipasso linear. Isso geralmente se aplica apenas a sistemas de PDEs de evolução de primeira ordem (no tempo).

Um exemplo de equações com esses derivados mistos é a Eq. (2.1) de http://epubs.siam.org/doi/pdf/10.1137/060676064 .

Em pelo menos alguns casos, é possível reescrever equações como sistemas de PDEs de evolução de primeira ordem, mas não vejo imediatamente uma maneira de fazê-lo aqui. Pode haver outros truques para aplicar o método das linhas a essas equações, mas eu não os conheço.