Uma boa diferença finita para a equação de continuidade

O que seria uma boa discretização de diferenças finitas para a seguinte equação:

$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \left(\rho u\right)=0$ ?

Podemos pegar o caso 1D:

$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{d}{dx}\left(\rho u\right)=0$

Por alguma razão, todos os esquemas que encontro são para a formulação em coordenadas lagrangianas. Eu vim com esse esquema por enquanto (desconsidere o índice j ):

$\frac{\rho^{n+1}_{i,j}-\rho^{n}_{i,j}}{\tau} + \frac{1}{h_x}\left(\frac{\rho^{n+1}_{i+1,j}+\rho^{n+1}_{i,j}}{2}u^{n}_{_xi+1/2,j}- \frac{\rho^{n+1}_{i,j}+\rho^{n+1}_{i-1,j}}{2}u^{n}_{_xi-1/2}\right)=0$

Mas parece ser realmente instável ou tem alguma condição de estabilidade horrível. É assim mesmo?

A velocidade é realmente calculada através da lei de darcy . Além disso, temos a equação de estado. O sistema completo também consiste em uma equação de energia e a equação de estado para o gás ideal. As velocidades podem ficar negativas .$u=-\frac{k}{\mu}\nabla p$

Você está olhando para a equação de conservação de massa:

$\dfrac{dm}{dt}=0$

Ao considerar a evolução da massa por unidade de volume, isso se resume à equação de advecção da densidade na forma de fluxo:

$\dfrac{\partial \rho}{\partial t} = -\nabla \cdot (\rho u)$

O bom disso é que é apenas a equação de advecção de um campo escalar arbitrário (no nosso caso, isso é densidade ) e é (relativamente) fácil de resolver, desde que haja esquemas adequados de diferenciação de tempo e espaço, e inicial e condições de contorno.$\rho$

Ao projetar um esquema de diferenciação finita, nos preocupamos com convergência, estabilidade e precisão. Um esquema está convergindo se quando . A estabilidade dos esquemas garante que a quantidade permaneça finita quando . A precisão formal do esquema indica onde está o erro de truncamento na série de expansão de Taylor da derivada parcial. Examine um livro CFD para obter mais detalhes sobre essas propriedades fundamentais de um esquema diferencial. Δt→0At→$\dfrac{\Delta A}{\Delta t} \rightarrow \dfrac{\partial A}{\partial t}$$\Delta t \rightarrow 0$$A$$t \rightarrow \infty$

Agora, a abordagem mais simples é ir diretamente para a diferenciação a montante de 1ª ordem. Esse esquema é positivo-definido, conservador e computacionalmente eficiente. As duas primeiras propriedades são especialmente importantes quando modelamos a evolução de uma quantidade sempre positiva (ou seja, massa ou densidade).

Para simplificar, vejamos o caso 1-D:

$\dfrac{\partial \rho}{\partial t} = -\dfrac{\partial(\rho u)}{\partial x}$

Agora é conveniente definir o fluxo , para que:$\Phi = \rho u$

$\dfrac{\partial(\rho u)}{\partial x} = \dfrac{\partial \Phi}{\partial x} \approx \dfrac{\Delta \Phi}{\Delta x} \approx \dfrac{\Phi_{i+1/2}-\Phi_{i-1/2}}{\Delta x}$

Aqui está um esquema do que estamos simulando:

            u           u
|          -->         -->          |
|    rho    |    rho    |    rho    |
x-----o-----x-----o-----x-----o-----x
     i-1  i-1/2   i   i+1/2  i+1

$\rho$$i$$\Phi_{i-1/2}$$\Phi_{i+1/2}$. É aqui que começamos a divergir da resposta de Paulo. Na verdadeira diferenciação conservadora a montante, a quantidade no centro da célula está sendo transportada pela velocidade na borda da célula, na direção de seu movimento. Em outras palavras, se você imagina que é a quantidade prevista e está sentado no centro da célula, está sendo carregado na célula à sua frente pela velocidade na borda da célula. A avaliação do fluxo na borda da célula como um produto de densidade e velocidade, tanto na borda da célula, não está correta e não conserva a quantidade prevista.

Os fluxos de entrada e saída são avaliados como:

$\Phi_{i+1/2} = \dfrac{u_{i+1/2}+|u_{i+1/2}|}{2}\rho_{i} + \dfrac{u_{i+1/2}-|u_{i+1/2}|}{2}\rho_{i+1}$

$\Phi_{i-1/2} = \dfrac{u_{i-1/2}+|u_{i-1/2}|}{2}\rho_{i-1} + \dfrac{u_{i-1/2}-|u_{i-1/2}|}{2}\rho_{i}$

O tratamento acima da diferenciação de fluxo assegura a definição a montante. Em outras palavras, ajusta a direção de diferenciação de acordo com o sinal de velocidade.

O critério de estabilidade de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL), ao fazer a diferença de tempo com uma primeira ordem simples, a diferenciação de Euler para a frente é dada como:

$\mu = \dfrac{u\Delta t}{\Delta x} \leq 1$

Observe que em 2 dimensões, o critério de estabilidade da CFL é mais rigoroso:

$\mu = \dfrac{c\Delta t}{\Delta x} \leq \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$c$$\sqrt{u^{2}+v^{2}}$

Algumas coisas a considerar. Esse esquema pode ou não ser apropriado para sua aplicação, dependendo do tipo de processo que você está simulando. Esse esquema é altamente difusivo e é apropriado para fluxos muito suaves, sem gradientes acentuados. Também é mais difusivo para etapas mais curtas. No caso 1-D, você obterá uma solução quase exata se os gradientes forem muito pequenos e se . No caso 2-D, isso não é possível e a difusão é anisotrópica.$\mu = 1$

Se o seu sistema físico considerar ondas de choque ou altos gradientes de outro tipo, você deve considerar a diferenciação upstream de ordem superior (por exemplo, terceira ou quinta ordem). Além disso, pode valer a pena examinar a família de esquemas de transporte corrigido por fluxo (Zalesak, 1979, JCP); correção anti-difusão para o esquema acima por Smolarkiewicz (1984, JCP); Família de esquemas MPDATA de Smolarkiewicz (1998, JCP).

Para diferenciar o tempo, a diferenciação de Euler para a frente de 1ª ordem pode ser satisfatória para suas necessidades. Caso contrário, procure métodos de ordem superior, como Runge-Kutta (iterativo) ou Adams-Bashforth e Adams-Moulton (multinível).

Vale a pena olhar para alguns livros didáticos de pós-graduação em CFD para um resumo dos esquemas mencionados acima e muito mais.

$(\frac{d}{dx})$

$\frac{\rho_i^{k+1}-\rho_i^k}{\Delta t} + \frac{\rho_i^k U_i^k-\rho_{i-1}^k U_{i-1}^k}{\Delta x} = 0$

$\Delta x$$\Delta t$