Como formular matriz de massa concentrada no MEF

Ao resolver PDE dependentes do tempo usando o método dos elementos finitos, por exemplo, a equação do calor, se usarmos o passo explícito do tempo, teremos que resolver um sistema linear por causa da matriz de massa. Por exemplo, se mantivermos o exemplo da equação do calor,

$\frac{\partial{u}}{\partial{t}} = c\nabla{}^{2}u$

usando o Euler para frente, obtemos

$M(\frac{u^{n+1}-u^{n}}{dt}) = -cKu^{n}$

e, portanto, mesmo usando um esquema explícito de tempo, ainda temos que resolver um sistema linear. Obviamente, esse é um grande problema, pois a principal vantagem do uso de esquemas explícitos é NÃO ter que resolver um sistema linear. Li que uma maneira comum de contornar esse problema é usar uma matriz de massa "agrupada" que transforma a matriz de massa regular (consistente?) Em uma matriz diagonal e, portanto, torna a inversão trivial. No entanto, ao fazer uma pesquisa no Google, ainda não tenho certeza de como é criada essa matriz de massa concentrada. Por exemplo, olhando para o documento EXPERIMENTOS NUMÉRICOS DE GRUPO DE MASSA PARA A EQUAÇÃO DE ADVECÇÃO-DIFUSÃOpor Edson Wendland Harry e Edmar Schulz, eles criam sua matriz de massa agrupada simplesmente somando todos os coeficientes na diagonal. Por exemplo, se nossa matriz de massa consistente original fosse:

(\begin{matrix} 4 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & 4 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & 4\end{pmatrix}$

então a matriz de massa agrupada seria:

(\begin{matrix} 9 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 9 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 9 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 9\end{pmatrix}$

Minha pergunta então é: esta é a maneira correta de formar a matriz de massa agrupada? Quais são as desvantagens ao usar a matriz de massa concentrada em vez da matriz de massa consistente e completa em termos de precisão? Os autores do artigo que mencionei na verdade sugeriram não usar a matriz de massa agrupada, embora parecesse que eles estavam usando apenas um esquema de escalonamento de tempo implícito que achei estranho, uma vez que o principal motivo para usar essas matrizes é por métodos explícitos.

Nota: Eu nunca usaria Euler avançado para resolver a equação do calor, isso foi apenas um exemplo. Além disso, se importa, meu problema é resolver as equações de Navier Stokes, nas quais o termo não linear é tratado explicitamente e o termo de difusão é tratado implicitamente.

obrigado

finite-element time-integration navier-stokes

— James
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O (n^{2})

$O(n^{2})$

Sim, eu poderia fazer isso se estivesse usando um solucionador direto, mas se estiver usando o PCG ou algum outro solucionador iterativo, acho que isso não ajudaria. #

— James

Pessoalmente, não confio matematicamente em massa. Computacionalmente, ele não oferece nenhuma vantagem, a menos que você busque um passo explícito no tempo; nesse caso, a matriz de massa diagonal facilita muito a solução. Se você estiver usando um método implícito de escalonamento de tempo, não ganha esparsidade na matriz. Eu acho que você só ganha erro nesse ponto por não usar uma matriz consistente.

— Paul

Estou surpreso que ninguém tenha mencionado o método de Fried e Markus (1975) para quadriláteros, que usa nós nos pontos Lobatto para evitar a perda de erro de truncamento. Não é um problema até você chegar ao cubics, mas exclui elementos de acaso. A ideia foi estendida a triângulos, mas requer uma base e quadratura especiais.

— L. Young

Eu não acho que exista uma resposta definitiva para isso, pois pode mudar de um tópico para outro (e também depende do tipo de elementos que você está usando). Existem alguns artigos recentes falando sobre isso também [2]. Portanto, não é uma discussão fechada. Além disso, você pode ter componentes inerciais diferentes (pelo menos em mecânica) quando tiver elementos com restrições cinemáticas como vigas ou cascas.

Zienkiewicz (veja [1], seção 16.2.4) discute três métodos para agrupar a matriz de massa

$M_{i i}^{(lumped)} = \sum_{j} M_{i j}$ $M^{(\text{lumped})}_{ii} = \sum_j M_{ij}$
$M_{i i}^{(lumped)} = c M_{i i}$ $M^{(\text{lumped})}_{ii} = c M_{ii}$ $c$ $\sum_j M^{(\text{lumped})}_{jj} = \int_\Omega \rho d\Omega$
$M$ $N_i=0$ $x=x_j$ $i\neq j$

Nem todos os métodos funcionam em todos os casos, por exemplo, o método de soma de linhas não funciona para elementos de acaso de 8 nós, pois levaria a massas negativas.

$M_{\text{tot}}$ $\mathrm{Tr}(M)$

M_{i i}^{(lumped)} = \frac{M_{tot}}{T r (M)} M_{i i} (no summation on i) .

$M^{(\text{lumped})}_{ii} = \frac{M_{\text{tot}}}{\mathrm{Tr}(M)} M_{ii} \quad \text{(no summation on $i$)} \enspace .$

Também usei o método 3 com os chamados Métodos de Elementos Espectrais com nós Lobatto (usando esses locais como nós e pontos de integração), que automaticamente levam a matrizes diagonais.

De [1], você pode ver esta figura descrevendo alguns dos métodos para alguns tipos de elementos Massa em massa para alguns elementos finitos bidimensionais

Referências

[1] Zhu, J., ZRL Taylor e OC Zienkiewicz. "O método dos elementos finitos: sua base e fundamentos." (2005): 54-102.

[2] Felippa, Carlos A., Qiong Guo e KC Park. "Modelos de matriz de massa: descrição geral e exemplos 1d." Arquivos de Métodos Computacionais em Engenharia 22.1 (2015): 1-65.

— nicoguaro
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