Elementos de Raviart-Thomas no quadrado de referência

Gostaria de aprender como o elemento Raviart-Thomas (RT) funciona. Para esse fim, gostaria de descrever analiticamente como as funções básicas ficam no quadrado de referência. O objetivo aqui não é implementá-lo, mas apenas obter uma compreensão intuitiva do elemento.

Estou baseando amplamente esse trabalho nos elementos triangulares discutidos aqui , talvez estendê-lo a quadriláteros já seja um erro.

Dito isto, posso definir as funções básicas para o primeiro elemento RK RK0:

para

ϕ_{i} (x) = a + b x = (\begin{matrix} a_{1} + b_{1} x \\ a_{2} + b_{2} y \end{matrix})

$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}) = \mathbf{a} + \mathbf{b}\mathbf{x} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 x\\a_2 + b_2 y\end{pmatrix}$

i = 1, \dots, 4.

$i = 1,\dots,4.$

As condições em são as seguintes: $\mathbf{\phi}_i$

ϕ_{i} (x_{j}) \cdot n_{j} = δ_{i j}

$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}_j)\cdot\mathbf{n}_j = \delta_{ij}$

onde é a unidade normal mostrada abaixo e é sua coordenada. $\mathbf{n}_j$ $\mathbf{x}_j$

RT0

Este é o quadrado de referência , portanto isso leva a um sistema de equações para cada função de base. Para é: $[-1,1]\times[1,1]$ $\mathbf{\phi}_1$

(\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ b_{1} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 1\\ -1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2\\ b_1\\ b_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0\end{pmatrix}$

que pode ser resolvido para fornecer:

ϕ_{1} (x) = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 + x \\ 0 \end{matrix})

$\mathbf{\phi}_1(\mathbf{x}) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 + x\\ 0\end{pmatrix}$

As outras funções básicas podem ser encontradas da mesma forma.

Supondo que isso esteja correto, o próximo passo é encontrar as funções básicas do RK1. É aqui que estou ficando um pouco insegura de mim mesma. De acordo com o link acima, o espaço em que estamos interessados é:

P_{1} (K) + x P_{1} (K)

$P_1(K) + \mathbf{x}P_1(K)$

Uma base para seria $P_1$ $\{ 1, x, y\}$

Eu acho que isso significa que as funções básicas do RK1 devem assumir a forma:

ϕ_{i} (x) = (\begin{matrix} a_{1} + b_{1} x + c_{1} y + d_{1} x^{2} + e_{1} x y \\ a_{2} + b_{2} x + c_{2} y + d_{2} x y + e_{2} y^{2} \end{matrix})

$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 x + c_1 y + d_1 x^2 + e_1 xy\\ a_2 + b_2 x + c_2 y + d_2 xy + e_2 y^2\end{pmatrix}$

Isso deixa 10 incógnitas para cada função básica. Se aplicarmos as mesmas condições do caso RK0, a saber:

ϕ_{i} (x_{j}) \cdot n_{j} = δ_{i j}

$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}_j)\cdot\mathbf{n}_j = \delta_{ij}$

n_{j}

$\mathbf{n}_j$

RK1

$[P_1]^2$

pde finite-element

— Lukas Bystricky
fonte

Em geral, você não pode simplesmente transferir a mesma base polinomial dos elementos tetraédricos para quadrilaterais. ¹ Em particular, todo o objetivo dos elementos quadrilaterais é trabalhar com produtos tensores de polinômios unidimensionais, o que não é possível para elementos tetraédricos.

$RT_k$

P_{k + 1, k} \times P_{k, k + 1},

$P_{k+1,k} \times P_{k,k+1},$

P_{k, l} = {\sum_{i = 0}^{k} \sum_{j = 0}^{l} a_{i j} x^{i} y^{j} : a_{i j} \in R} .

$P_{k,l} = \left\{\sum_{i=0}^k\sum_{j=0}^l a_{ij} x^iy^j: a_{ij}\in\mathbb{R}\right\}.$

k = 0

$k=0$

k = 1

$k=1$

(\begin{matrix} a_{1} + b_{1} x + c_{1} x^{2} + d_{1} y + e_{1} x y + f_{2} x^{2} y \\ a_{2} + b_{2} y + c_{2} y^{2} + d_{2} x + e_{2} x y + f_{2} x y^{2} \end{matrix}) .

$\begin{pmatrix} a_1 + b_1 x + c_1 x^2 + d_1 y + e_1 xy + f_2 x^2y\\ a_2 + b_2 y + c_2 y^2 + d_2 x + e_2 xy + f_2 xy^2 \end{pmatrix}.$

\dim R T_{1} = 12

$\dim RT_1 = 12$

\dim R T_{k} = 2 (k + 1) (k + 2)

$\dim RT_k = 2(k+1)(k+2)$

R T_{k}

$RT_k$

k + 1

$k+1$

\int_{- 1}^{1} \int_{- 1}^{1} ϕ_{i} (x, y) q_{j} (x, y) d x d x = δ_{i j},

$\int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \phi_i(x,y) q_j(x,y) dx\,dx=\delta_{ij},$

{q_{j}}

$\{q_j\}$

P_{k - 1, k} \times P_{k, k - 1}

$P_{k-1,k}\times P_{k,k-1}$

{1, x, y}

$\{1,x,y\}$

k = 1

$k=1$

\int_{e_{m}} ϕ_{i} (s)^{T} ν_{e_{m}} q_{m, j} (s) d s,

$\int_{e_m} \phi_i(s)^T\nu_{e_m} \, q_{m,j}(s)\,ds,$

e_{m}

$e_m$

ν_{e_{m}}

$\nu_{e_m}$

m

$m$

q_{m, j}

$q_{m,j}$

P_{k} (e_{m})

$P_k(e_m)$

{1, x}

$\{1,x\}$

{1, y}

$\{1,y\}$

k = 1

$k=1$

$H(div)$

_{$k$ $k$ $k$ $k$ $x^2y$ $3$ $2$}

— Christian Clason
fonte

Muito obrigado pela sua resposta, obviamente você se esforça muito. Eu acho que isso esclarece muitos dos meus conceitos errados.

— Lukas Bystricky

ϕ_{1}

$\mathbf{\phi}_1$

k = 0

$k=0$

\frac{1}{4} ⟨ 1 + x, 0 ⟩^{T}

$\frac{1}{4}\langle 1+x, 0\rangle^T$

ϕ_{1}

$\mathbf{\phi}_1$

y

$y$

Que bom que você achou útil; sua pergunta é interessante e você gastou muito esforço também. O suporte compacto vem do fato de que os polinômios são definidos apenas no elemento de referência - lembre-se de que Raviart-Thomas são elementos conformes ao H (div) e, portanto, as funções no espaço global do elemento finito não precisam ser contínuas.

— Christian Clason

Na verdade, isso é verdade apenas para as funções básicas conectadas aos graus de liberdade interiores: As funções básicas (globais) conectadas aos graus de liberdade da aresta suportam (apenas) os dois elementos conectados pela aresta; em todos os outros elementos, eles são definidos como zero.

— Christian Clason

Na verdade, na verdade: para elementos de aresta, apenas o rastreio normal precisa ser contínuo, não o polinômio em si; portanto, isso deve ser resolvido automaticamente sem estender o suporte. Se você precisar de mais detalhes sobre o espaço global de Raviart-Thomas, sugiro que você expanda sua pergunta e tentarei expandir minha resposta.

— Christian Clason