Como detectar a multiplicidade para os autovalores?

Suponha que A seja uma matriz esparsa geral e eu quero calcular os autovalores. Não sei como detectar a multiplicidade dos valores próprios. Até onde eu sei, para um caso especial, encontrando as raízes polinomiais pelo método da matriz companheira, podemos aplicar o RRQR para detectar a multiplicidade das raízes.

linear-algebra

— Willowbrook
fonte

Estritamente falando, o problema de calcular multiplicidades é mal colocado, pois perturbações arbitrariamente pequenas podem alterar as multiplicidades (geralmente reduzindo-as para 1). No entanto, para alguma aproximação, o seguinte funciona.

Se você tem uma aproximação de valor próprio próximo e pode se dar ao luxo de fator , pode aplicar um método de subespaço com a matriz para encontrar o espaço próprio de valores próprios próximo to . Projetar para uma base ortonormal desse espaço e computar a decomposição de Schur fornece a decomposição numérica em espaços próprios e suas multiplicidades, na medida em que um método numérico possa determiná-los. $\sigma$ $A-\sigma I$ $B=(A-\sigma I)^{-1}$ $\sigma$

Se você não puder pagar uma única fatoração, pode-se fazer coisas semelhantes com um método de subespaço direto, mas com uma resolução muito pior.

— Arnold Neumaier
fonte

O exemplo clássico disso é a matriz de Forsythe, que é a matriz companheira do polinômio , onde é suficientemente pequeno. A matriz em si não está com defeito, mas apenas uma pequena perturbação é necessária (no canto superior direito) para transformá-la em um bloco de Jordan, que está com defeito.

x^{n} - ε

$x^n-\varepsilon$

ε

$\varepsilon$

— JM