No MEF, por que a matriz de rigidez é positiva definitivamente definida?

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Nas aulas do FEM, geralmente é dado como certo que a matriz de rigidez é definida positivamente, mas eu simplesmente não consigo entender o porquê. Alguém poderia dar uma explicação?

Por exemplo, podemos considerar o problema de Poisson:

- \nabla^{2} u = f,

$-\nabla^2 u = f,$ cuja matriz de rigidez é:

K_{i j} = \int_{Ω} \nabla φ_{i} \cdot \nabla φ_{j} d Ω,

$K_{ij} = \int_\Omega\nabla\varphi_i\cdot\nabla\varphi_j\, d\Omega,$ que é simétrico e positivo definido. A simetria é uma propriedade óbvia, mas a definição positiva não é tão explícita para mim.

finite-element matrix stiffness

— user123
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Na verdade, isso depende da equação diferencial parcial que você está tentando resolver. Você pode adicionar o que você está interessado?

— Christian Clason

Olá, @ChristianClason, obrigado pelo seu comentário. Eu adicionei um exemplo concreto desse problema.

— user123

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Advertência: Sem condições de contorno, a matriz completa de rigidez do sistema, montada a partir de matrizes de elementos, não possui classificação completa, pois precisa mapear o equivalente a movimentos rígidos do corpo a zero forças. Assim, a matriz de rigidez completa pode ser, na melhor das hipóteses, positiva semidefinida. Porém, com condições de contorno adequadas, os movimentos rígidos do corpo são desativados e o sistema restrito é então não singular. (Caso contrário, não seria possível resolvê-lo). Portanto, para encontrar uma definição positiva real, é necessário observar a matriz condensada resultante da aplicação de condições de contorno.

— Ccorn 28/11

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A propriedade segue a propriedade da correspondente (forma fraca da) equação diferencial parcial; essa é uma das vantagens dos métodos de elementos finitos em comparação com, por exemplo, métodos de diferenças finitas.

Para ver isso, primeiro lembre-se de que o método dos elementos finitos começa na forma fraca da equação de Poisson (estou assumindo aqui as condições de contorno de Dirichlet): Encontre tal que $u\in H^1_0(\Omega)$

a (u, v) := \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d x = \int_{Ω} f v d x for all v \in H_{0}^{1} (Ω) .

$a(u,v):= \int_\Omega \nabla u\cdot \nabla v \,dx = \int_\Omega fv\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega).$

\begin{matrix} (1) & a (v, v) = ‖ \nabla v ‖_{L^{2}}^{2} \geq c ‖ v ‖_{H^{1}}^{2} for all v \in H_{0}^{1} (Ω) . \end{matrix}

$a(v,v) = \|\nabla v\|_{L^2}^2 \geq c \|v\|_{H^1}^2 \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega). \tag{1}$

Agora, a abordagem clássica dos elementos finitos é substituir o espaço infinito-dimensional por um subespaço finito-dimensional e encontrar modo que A propriedade importante aqui é que você está usando o mesmo e um subespaço (uma discretização em conformidade ); isso significa que você ainda possui $H^1_0(\Omega)$ $V_h\subset H^1_0(\Omega)$ $u_h\in V_h$

\begin{matrix} (2) & a (u_{h}, v_{h}) := \int_{Ω} \nabla u_{h} \cdot \nabla v_{h} d x = \int_{Ω} f v_{h} d x for all v_{h} \in V_{h} . \end{matrix}

$a(u_h,v_h):= \int_\Omega \nabla u_h\cdot \nabla v_h \,dx = \int_\Omega fv_h\,dx \qquad\text{for all }v_h\in V_h.\tag{2}$

a

$a$

V_{h} \subset H_{0}^{1} (Ω)

$V_h\subset H^1_0(\Omega)$

\begin{matrix} (3) & a (v_{h}, v_{h}) \geq c ‖ v_{h} ‖_{H^{1}}^{2} > 0 for all v_{h} \in V_{h} . \end{matrix}

$a(v_h,v_h) \geq c \|v_h\|_{H^1}^2 >0 \qquad\text{for all }v_h\in V_h. \tag{3}$

Agora, para a última etapa: para transformar a forma variacional em um sistema de equações lineares, escolha uma base de , escreva e insira , em . A matriz de rigidez possui as entradas (que coincide com o que você escreveu). $\{\varphi_1,\dots,\varphi_N\}$ $V_h$ $u_h =\sum_{i=1}^N u_i\varphi_i$ $v_h=\varphi_j$ $1\leq j\leq N$ $(2)$ $K$ $K_{ij}=a(\varphi_i,\varphi_j)$

Agora pegue um vetor arbitrário e defina . Então temos e a bilinearidade de (ou seja, você pode mover escalares e somas para os dois argumentos) Como foi arbitrário, isso implica que é definitivo positivo. $\vec v=(v_1,\dots,v_N)^T\in \mathbb{R}^N$ $v_h:=\sum_{i=1}^Nv_i \varphi_i\in V_h$ $(3)$ $a$

{\vec{v}}^{T} K \vec{v} = \sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{N} v_{i} K_{i j} v_{j} = \sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{N} a (v_{i} φ_{i}, v_{j} φ_{j}) = a (v_{h}, v_{h}) > 0.

$\vec v^T K \vec v = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N v_iK_{ij} v_j = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N a(v_i\varphi_i,v_j\varphi_j) = a(v_h,v_h) >0.$

\vec{v}

$\vec v$

K

$K$

TL; DR: A matriz de rigidez é definida positivamente porque provém de uma discretização em conformidade de uma equação diferencial parcial elíptica (auto-adjunta) .

— Christian Clason
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Se a rigidez do elemento não for positiva, o sistema não será estável. Portanto, o modelo provavelmente não está correto. Veja a equação mais básica do oscilador harmônico

m x^{″} (t) + k x (t) = f (t)

$m x''(t) + k x(t) = f(t)$

A solução é instável se for negativo (observe as raízes da equação característica). Isso significa que a solução explodirá. A rigidez tem que ser uma força restauradora. Pelo menos para uma mola física. A matriz de rigidez estende isso para um grande número de elementos (matriz de rigidez global). Isso é tudo. Mas é a mesma ideia básica. A base do MEF está no método da matriz de rigidez para análise estrutural em que cada elemento tem uma rigidez associada a ele. $k$

— Nasser
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