Soluções fortes e fracas de PDEs

A forma forte de um PDE exige que a solução desconhecida pertença a . Mas a forma fraca requer apenas que a solução desconhecida pertença a . $H^2$ $H^1$

Como você reconcilia isso?

pde weak-solution

— Mohamed Cheddadi
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A classe de soluções fracas é maior que a classe de soluções fortes (toda solução forte também é uma solução fraca, mas nem toda solução fraca também é uma solução forte).

— Christian Clason

Mas existe apenas uma solução.

— Mohamed Cheddadi

Há uma solução para cada função (apropriada) do lado direito ou conjunto de condições (apropriadas) de contorno. Os espaços de RHSes ou BCs apropriados são maiores para soluções fracas que as fortes.

— Bill Barth

Vejamos o caso mais simples da equação de Poisson em um domínio juntamente com condições homogêneas de Dirichlet no limite de . Presumimos, por enquanto, que é tão suave quanto queremos (por exemplo, pode ser parametrizado por uma função ) - isso será importante mais tarde.

\begin{matrix} (1) & - Δ u = f \end{matrix}

$-\Delta u = f \tag{1}$

Ω \subset R^{n}

$\Omega\subset \mathbb{R}^n$

\begin{matrix} (2) & u |_{\partial Ω} = 0 \end{matrix}

$u|_{\partial\Omega} = 0 \tag{2}$

\partial Ω

$\partial\Omega$

Ω

$\Omega$

\partial Ω

$\partial\Omega$

C^{\infty}

$C^\infty$

A questão agora é como interpretar o PDE puramente formal) . Normalmente, isso é respondido em termos de como interpretar a derivada , mas, para nosso propósito, é melhor focar em como interpretar a equação . $(1)$ $\Delta$

Presume-se que o PDE mantenha apontado para cada . Para que isso faça sentido, o lado direito deve ser contínuo, caso contrário, não podemos falar sobre valores pontuais . Isso significa que as segundas derivadas (clássicas) da solução devem ser contínuas, ou seja, precisamos procurar . Uma função que satisfaz juntamente com a condição de contorno horário é chamada de solução clássica (às vezes, infelizmente, também é uma solução forte ). $(1)$ $x\in\Omega$ $f$ $f(x)$ $u$ $u\in C^2(\Omega)$

$u\in C^2(\Omega)$ $(1)$ $(2)$
O requisito de que é contínuo é muito restritivo para aplicações práticas. Se apenas assumirmos manter o ponto no sentido de quase todos os (ou seja, em todos os lugares, exceto os conjuntos de Lebesgue medem zero), então podemos nos dar bem com . Isso significa que as segundas derivadas são funções em , o que faz sentido se tomarmos derivadas fracas e, portanto, procurarmos . (Lembre-se de que, para funções que não são contínuas, não podemos considerar a condição de contorno oposto. Como $f$ $(1)$ $x\in \Omega$ $f\in L^2(\Omega)$ $L^2$ $u\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$ $u$ $(2)$ $\partial \Omega$ tem zero medida de Lebesgue como um subconjunto de , quase sempre em todo lugar também não faz sentido.) Uma função que satisfaz quase sempre em todo lugar é chamado uma solução forte . Observe que, em geral, é necessário e não trivial mostrar que essa solução existe e é única (que é o caso do exemplo aqui). $\bar\Omega$

$u\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$ $(1)$
Se já estamos lidando com derivativos fracos, também podemos relaxar ainda mais as suposições sobre . Se considerarmos como uma equação abstrata de operador em , o espaço duplo de , isso faz sentido para todos os (que é um espaço maior que ). Basicamente, por definição do espaço duplo e da derivada fraca, nesse sentido é equivalente à equação variacional Uma função $f$ $(1)$ $H^{-1}(\Omega)$ $H^1_0(\Omega)$ $f\in H^{-1}(\Omega)$ $L^2(\Omega)$ $(1)$
$\begin{matrix} (3) & \int_{Ω} \nabla u (x) \cdot \nabla v (x) d x = \int_{Ω} f (x) v (x) d x for all v \in H_{0}^{1} (Ω) . \end{matrix}$ $\int_\Omega \nabla u(x)\cdot \nabla v(x)\,dx = \int_\Omega f(x)v(x)\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega)\tag{3}.$
$u\in H^1_0(\Omega)$ que satisfaça é chamado de solução fraca . Novamente, é geralmente necessário e não trivial mostrar que essa solução existe e é única (que é o caso do exemplo aqui). $(3)$

Agora, como as derivadas clássicas também são derivadas fracas, toda solução clássica também é uma solução forte. Da mesma forma, incorporando , toda solução forte também é uma solução fraca. As outras direções são mais sutis. $H^2(\Omega)\subset H^1(\Omega)$

Se tiver uma solução única, que satisfaça por (em vez de apenas ), então a solução fraca também é uma solução forte (e para também é uma solução clássica, pois, neste caso, incorpora ). Essa propriedade às vezes é chamada regularidade máxima (elíptica) e vale para a equação de Poisson, assumindo que o limite (e os dados do limite) sejam suficientemente suaves. (É aqui que entra a suposição acima.) $(3)$ $u\in H^2(\Omega)$ $f\in L^2(\Omega)$ $H^{-1}(\Omega)$ $n=2$ $H^2(\Omega)$ $C(\bar\Omega)$ $\partial\Omega$
Caso contrário, pode acontecer mesmo para que o PDE tenha uma solução fraca, mas não uma solução forte. $f\in L^2(\Omega)$
Se a regularidade máxima não se mantiver, também pode acontecer que o PDE tenha uma solução forte única (que também é uma solução fraca), mas não uma solução fraca única. Isso significa que existem muitas soluções fracas em, por exemplo, , mas apenas uma delas também está em e, portanto, uma solução forte. (Os exemplos reais requerem espaços mais complicados; veja, por exemplo, Meyer, Christian; Panizzi, Lucia; Schiela, Anton , Critérios de exclusividade para a equação adjunta no controle ótimo elíptico com restrição de estado , Numer. Funct. Anal. Optim. 32. 9, 983-1007 (2011) ZBL1230.35041 ou equações não-lineares mais complicadas; consulte, por exemplo, http://www.numdam.org/item/JEDP_2015____A10_0/ $H^1_0(\Omega)$ $H^2(\Omega)$ .)

— Christian Clason
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Achei esta resposta realmente útil. Você pode fornecer uma referência para sua última parte da sua resposta? Eu gostaria de ver um exemplo em que um PDE tem uma solução forte e exclusiva, mas permite várias soluções fracas. Obrigado!

— induction601