observações pontuais vs. contínuas no problema inverso do PDE

Eu trabalho em um problema inverso para o meu Ph.D. pesquisa, que por uma questão de simplicidade, diremos que está determinando em$\beta$

$L(\beta)u \equiv -\nabla\cdot(k_0e^\beta\nabla u) = f$

de algumas observações ; k 0 é uma constante ef é conhecido. Isso geralmente é formulado como um problema de otimização para extremizar$u^o$$k_0$$f$

$J[u, \lambda; \beta] = \frac{1}{2}\int_\Omega(u(x) - u^o(x))^2dx + \int_\Omega\lambda(L(\beta)u - f)dx$

onde é um multiplicador de Lagrange. A derivada funcional de J em relação a β pode ser calculada resolvendo a equação adjunta$\lambda$$J$$\beta$

$L(\beta)\lambda = u - u^o.$

Algum regularizador funcional é adicionado ao problema pelos motivos usuais.$R[\beta]$

A suposição tácita aqui é que os dados observados são definidos continuamente em todo o domínio Ω . Eu acho que pode ser mais apropriado para o meu problema usar$u^o$$\Omega$

$J[u, \lambda; \beta] = \sum_{n = 1}^N\frac{(u(x_n) - u^o(x_n))^2}{2\sigma_n^2} + \int_\Omega\lambda(L(\beta)u - f)dx$

$x_n$$\sigma_n$$n$

Isso me dá uma pausa porque a equação adjunta se torna

$L(\beta)\lambda = \sum_{n = 1}^N\frac{u(x_n) - u^o(x_n)}{\sigma_n^2}\delta(x - x_n)$

$\delta$

Não consigo encontrar nenhuma comparação de assumir medições contínuas ou pontuais em problemas inversos na literatura, seja em relação ao problema específico em que estou trabalhando ou em geral. Frequentemente, medições pontuais são usadas sem nenhuma menção aos problemas de regularidade incipientes, por exemplo, aqui . Existe algum trabalho publicado comparando as premissas de medidas contínuas versus medidas pontuais? Devo me preocupar com as funções delta no caso pontual?

As medições desse campo geralmente são pedaços irregulares e ausentes; por que interpolar para obter um campo contínuo de fidelidade duvidosa se isso pode ser evitado?

Você está perfeitamente certo - na maioria das vezes, a interpolação para um campo contínuo que cobre todo o domínio não é uma opção. Pense nos problemas de previsão do tempo, em que as medições (fontes pontuais) estão disponíveis apenas em locais de domínio selecionados. Eu diria que os dados pontuais são mais a norma do que a exceção quando você considera problemas inversos da "vida real".

Meu melhor palpite é que o objetivo funcional deve ser definido em termos da aproximação de elementos finitos a todos os campos ( discretizar e otimizar ), e não em termos dos campos reais e depois discretizados após ( otimizar e discretizar ).

As duas abordagens não são equivalentes (exceto problemas muito simples). Existe um vasto corpo de literatura comparando as duas abordagens (cada uma com suas vantagens e desvantagens). Eu apontaria para a monografia de Max Gunzburger (em particular o final do capítulo 2).

Existe algum trabalho publicado comparando as premissas de medidas contínuas versus medidas pontuais? Devo me preocupar com as funções delta no caso pontual?

Você pode representar exatamente os termos da fonte - ou seja, o termo da fonte será modelado como uma (aproximação discreta à) Dirac distribuição [ Arraya et al., 2006 ], ou você pode aproximar o termo da fonte por alguma função regularizada (como é feito , por exemplo, no método de limite imerso ). Dê uma olhada (para iniciantes) neste artigo recente de Hosseini et al. (e referências).

Para expandir a resposta do @ GoHokies: Se você está interessado em perguntas de regularidade, também pode perguntar o que realmente são "medidas de ponto". Na prática física, você não pode medir nada em um "ponto". Em vez disso, você sempre terá algum tipo de média em relação a algum tipo de espaço-tempo: um termômetro não é um ponto, mas um objeto estendido, e leva tempo para se ajustar à temperatura do meio ao seu redor; um dispositivo de medição de concentração precisa de um tamanho finito de amostra; etc.

O que isso significa matematicamente é que as funções delta em sua função são, na verdade, médias sobre áreas suficientemente pequenas e / ou intervalos de tempo. Consequentemente, os lados direito da equação dupla também são finitos e não surgem problemas de regularidade.

Obviamente, na prática, você normalmente não conseguirá resolver os pequenos intervalos de espaço ou tempo nos quais você mede com uma malha de elementos finitos. Isto é, em escalas de comprimento que você pode resolver, do lado direito faz singular olhar, e, consequentemente, o mesmo acontece com a solução. Porém, como você já está introduzindo um erro de discretização, também pode regularizar a função característica do volume sobre o qual mede por uma aproximação discreta com o mesmo peso; se você fizer certo, introduzirá um erro que não é maior que o erro de discretização, beneficiando de uma função perfeitamente agradável do lado direito para a equação dupla (discreta).