Multiplicação de matrizes MATLAB (a melhor abordagem computacional)

Eu tenho que fazer uma transformação de coordenadas entre dois sistemas de referência (eixos). Para isso, três matrizes ( ) devem ser multiplicadas devido ao uso de alguns eixos intermediários. Pensei em duas abordagens para resolver isso: $3\times3$

Método # 1 : Fazendo a multiplicação diretamente, ou seja,

v_{f} = R_{1} R_{2} R_{3} v_{i}

$v_f = R_1\ R_2\ R_3\ v_i$

Método # 2 : Divida em etapas:

$v_{3i} = R_3\ v_i$
$v_{23} = R_2\ v_{3i}$
$v_f = R_1\ v_{23}$

Onde:

$R_1$ , e são matrizes $R_2$ $R_3$ $3\times3$

$v_f$ , , , são vetores $v_i$ $v_{3i}$ $v_{23}$ $3\times1$

Gostaria de saber qual método é mais eficiente computacionalmente (menos tempo) para fazer a transformação (isso será feito várias vezes).

matrix performance matlab

— julianfperez
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Use quaternions .

— Chris Taylor

@ ChrisTaylor: Muito obrigado pela sua sugestão.

— Julianfperez

Por favor, não cruze.

— Arrancado

Observe que havia duas perguntas postadas aqui e no StackOverflow. As perguntas, seus comentários e respostas foram mesclados a este.

— Aron Ahmadia

@ Will e AronAhmadia: me desculpe. Eu não sabia que o cruzamento é proibido. Sempre publiquei minhas perguntas no StackOverflow, mas hoje encontrei este novo site e pensei que talvez também pudesse encontrar ajuda aqui.

— Julianfperez

Respostas:

$A*B*C*v$ $A*(B*(C*v))$

$A*(B*(C*v))$

Para descobrir em geral como medir o impacto de pequenas diferenças de programação em cálculos em larga escala, escreva no prompt do Matlab '' perfil de ajuda ''.

— Arnold Neumaier
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Obrigado pelas informações interessantes fornecidas em sua resposta.

— Julianfperez

Por que é mais rápido se você salvar os intermediários?

— Federico Poloni

@FedericoPoloni: Eu escrevi que é um pouco mais rápido não salvar os intermediários.

— Arnold Neumaier

@ArnoldNeumaier Ooh, desculpe, eu li errado. :)

— Federico Poloni

Para iniciantes, eu não usaria variáveis intermediárias, mas colchetes. A menos, é claro, que você esteja interessado nos resultados intermediários, mas acho que não.

Eu tentei o seguinte no Matlab:

>> N = 500;                                             
>> A = rand(N); B = rand(N); C = rand(N); v = rand(N,1);

>> tic, for k=1:100, A*B*C*v; end; toc
Elapsed time is 3.207299 seconds.

>> tic, for k=1:100, A*(B*(C*v)); end; toc
Elapsed time is 0.108095 seconds.

Devo dizer, porém, que isso é bastante assustador. Eu sempre assumi que o Matlab seria inteligente em relação à ordem de multiplicação da matriz, pois esse é um problema conhecido com soluções simples e eficientes.

— Pedro
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Você perdeu a parte em que as matrizes são 3x3? :)

— Aron Ahmadia

@AronAhmadia: Opa ... Perdi isso, obrigado. Eu acho que para esses tamanhos de matriz, o problema todo é discutível, mas eu ainda estou surpreso com os resultados para grande N.

— Pedro

Eu estou supondo MATLAB está seguindo as regras C precedência para avaliação da expressão porque a matemática de ponto flutuante não é associativa e eles têm que assumir que você sabe o que está fazendo :)

— Aron Ahmadia

@ Pedro: Obrigado pela sua resposta. Para a dimensão 3x3 da matriz, verifiquei que sua solução também é melhor que a multiplicação usual (sem colchetes) da matriz.

— Julianfperez

+1 obrigado por mostrar uma maneira simples e fácil de medir o tempo de execução

— Steven Magana-Zook 21/12

Como as matrizes são muito pequenas, todo o custo será pago em excesso. Se você realizar a transformação várias vezes, será mais rápido pré-calcular D=A*B*Cuma vez e depois aplicar cada vetor v_f=D*v_i. Você também pode considerar trazer isso para um arquivo mex.

— Aron Ahmadia
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Obrigado pela sua resposta. No meu caso, as matrizes são de rotação (elas dependem de um valor angular e isso muda), portanto o produto A B C nem sempre é o mesmo.

— Julianfperez