Exemplos ilustrativos de métodos de diferenças finitas miméticas

Por mais que eu tente encontrar uma explicação concisa na Internet, não consigo entender o conceito de diferença finita mimética ou como ela se relaciona com diferenças finitas padrão. Seria realmente útil ver alguns exemplos simples de como eles são implementados para os PDE lineares clássicos (hiperbólicos, elípticos e parabólicos).

Não tenho certeza se essa é a resposta que você queria, mas como ninguém mais respondeu, posso mencionar a GPL'd MATLAB Reservoir Toolbox , que usa solucionadores miméticos para equações de pressão na simulação de reservatório. Vendo como esta equação, reduz à equação típica do teste elíptico, Δp=0(Poisson) para a razão constante de permeabilidade / viscosidade, provavelmente você pode obter alguma compreensão dos solucionadores de MRST. O MRST suporta grades totalmente não estruturadas usando diferentes métodos miméticos, onde mimético aqui se refere a uma imitação do produto interno necessário para a configuração de equações de balanço de massa. Você provavelmente não precisará de nenhuma compreensão das simulações de reservatório para entender isso.

Um bom exemplo para começar é descrito aqui . Os exemplos incluídos usam a funcionalidade de script de bloco do MATLAB, onde você pode usar shift-enter para percorrer as etapas e inspecionar os dados em cada etapa.

Artigos relevantes podem ser encontrados aqui . O primeiro artigo analisa a formulação do produto interno mimético, para que você possa ler o código junto. Se você não possui o MATLAB ou não está familiarizado com o idioma, isso provavelmente não é muito útil - mas acho que os exemplos simples também devem ser compatíveis com o Octave.

Há uma tese de mestrado "Comparação entre esquemas miméticos e esquemas de aproximação de fluxo de dois pontos em redes PEBI" que aborda alguns dos detalhes e a seção 7.3, em particular, trabalha com um pequeno exemplo à mão.

$\nabla\cdot$$\nabla$$\nabla\times$

A construção de um cálculo discreto prossegue em duas etapas. Primeiro, escolhemos uma forma discreta para um dos operadores fundamentais, denominado operador principal . Então, com base em algum subconjunto de identidades diferenciais e integrais que escolhemos manter, construímos os outros operadores fundamentais, denominados operadores derivados . A escolha do operador principal depende da aplicação e da discretização. Em certo sentido, o operador principal "suporta" a construção dos operadores derivados. Leis de conservação, simetrias de solução e relações adjacentes entre operadores diferenciais são exemplos de propriedades que queremos que os operadores discretos imitem.

Por exemplo, uma discretização SOM da equação de difusão linear que a discretização mimética imitaria

1. O teorema de Gauss-Green para aplicar a lei de conservação local
2. $-\textbf{K}\nabla = (\nabla\,\cdot)^{*}$
3. Simetria e positividade garantidas do produto da divergência discreta e fluxo discreto
4. O espaço nulo do operador de fluxo discreto são as funções constantes.

Detalhes completos sobre a discretização mimética da equação de difusão estão disponíveis em 1D ou 2D .

Veja a tese de Jerome Bonelle, disponível em seu site ou diretamente aqui . Achei os capítulos 2 - 4 bastante fáceis de ler e uma boa introdução. Ele também fala sobre dois exemplos, um PDE elíptico e as equações de Stokes.