Minimizando uma função quadrática com restrições não lineares

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Quais seriam os bons métodos (e / ou pacotes de software) para tentar solucionar um problema que minimizasse uma função quadrática , st e existem mais limitações alguns dos quais são não-linear (e não-diferenciável), por exemplo ? $f(x) = \sum_{i=1}^N{(x_i - y_i)^2}$ $0 \leq x_i \leq 1$ $\sum_i x_i \mathbf{1}_{x_i>a} < b$

Estou pensando em . FWIW, o Matlab aparentemente está usando um "método de conjunto ativo, semelhante ao de Gill et al.", Que apresenta desempenho um tanto desigual. $N \approx 100$

optimization nonlinear-programming

— laxxy
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Atualização: o link na resposta de Arnold abaixo é útil. Porém, para esse problema em particular, foi útil reescrevê-lo como um problema inteiro misto (definindo indicadores como novas variáveis) e usar um solucionador de números inteiros mistos (não consegui que o CPLEX funcionasse, pois a restrição aparentemente não era "quadrática o suficiente "por isso).

— Laxxy

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Se você tiver restrições não suaves, não ajuda que você tenha um objetivo quadrático convexo. Você precisa de um solucionador não suave restrito.

Consulte minha página da web
http://www.mat.univie.ac.at/~neum/glopt/software_l.html#nonsm
para obter um software adequado.

— Arnold Neumaier
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Você diz no comentário que não pode fazê-lo funcionar, pois não é quadrático o suficiente. Não vejo razão para isso. O problema é facilmente codificado como um programa quadrático de número misto.

Se eu entendo sua definição de problema, você deseja restringir a soma das variáveis maiores que um limite. Introduza uma variável binária indicando se x é maior que ae introduza outra variável z que deve ser igual a x quando isso é válido e zero caso contrário, e use a soma das novas variáveis.

Usando a caixa de ferramentas MATLAB YALMIP para fazer interface com o CPLEX (ou Gurobi ou qualquer outro solucionador de MIQP), o problema é resolvido trivialmente em frações de segundo. Aqui, um exemplo aleatório, implementado usando um modelo derivado manualmente e um modelo que explora os recursos de modelagem de alto nível no YALMIP

% Create random data
N = 100;
y = rand(N,1);
a = rand(N,1);
b = rand(1);

% Decision variables
x = sdpvar(N,1);
z = sdpvar(N,1);
d = binvar(N,1);

% Define objective
Objective = (x-y)'*(x-y)

% High-level model
Con1 = [0 <= x <= 1,0 <= z <=1];
Con2 = [implies(x-a>=0,d), implies(d,z==x), implies(1-d,z==0)]
Con3 = [sum(z) <= b];

% Solve problem
solvesdp([Con1,Con2,Con3],Objective)

% display solution
[double(x) a double(z)]

% Manually derived model
Con1 = [0 <= x <= 1,0 <= z <=1];
Con2 = [x-a <= d, -(1-d) <= x-z <= 1-d, z <= d];
Con3 = [sum(z) <= b];
Objective = (x-y)'*(x-y)
solvesdp([Con1,Con2,Con3],Objective)
[double(x) a double(z)]

— Johan Löfberg
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