Utilidade de elementos com estabilidade dependente de malha

Depois de fazer algumas matemáticas relacionadas à estabilidade dos elementos no problema 3D Stokes, fiquei um pouco chocado ao perceber que não é estável para uma malha tetraédrica arbitrária. Mais precisamente, caso você tenha um elemento em que todos os nós e três das quatro facetas se encontrem no limite do domínio com uma condição Dirichlet, você acaba obtendo uma matriz singular. De fato, é bastante trivial concluir da forma fraca do sistema Stokes. $P_2-P_1$

Testei o único código comercial da Stokes ao qual tenho acesso (COMSOL) e ele me permitiu criar essa malha. Ao clicar em resolver, recebo 'Erro: matriz singular' conforme o esperado. (Tenho a impressão de que o COMSOL usa para seu módulo de fluxo rastejante.) $P_2-P_1$

Para testar ainda mais se o problema não estava relacionado a outras configurações, tentei a seguinte malha e tudo funciona conforme o esperado.

Perguntas: Esse tipo de restrição é levado em consideração nos geradores de malha (adaptativos ou não adaptativos)? Vejo em vários trabalhos de pesquisa que esse elemento parece ser bastante popular. Esse tipo de instabilidade de fronteira geralmente é desconsiderado como insignificante ao escolher um método a ser usado? Mais importante, o que realmente significa ter um elemento finito estável , ou seja, que tipo de instabilidades dependentes de malha são demais para concluirmos que o método é ruim?

stability navier-stokes unstructured-mesh

— knl
fonte

Pergunta interessante! Até onde eu vejo, esses elementos geralmente resultam da geração de malha tetraédrica estruturada em cubos e outros e desempenham apenas um papel menor em aplicativos reais em que você possui algoritmos de nodalização não estruturados. Eu tentei um pouco há um tempo atrás e não consegui produzir essa malha com um gerador de malha produzindo malhas totalmente não estruturadas. Eu suspeito que eles empregam um mecanismo para evitar esses elementos com excesso de restrições. Não tenho acesso ao COMSOL, mas acho que, para a maioria dos solucionadores, esse elemento não representa um problema significativo.

— Christian Waluga

Gostaria de saber se isso também é um problema com o elemento MINI.

— Daniel Shapero

(\nabla \cdot v, p) = 0 \forall v \in V_{h} \Rightarrow p = global const.

$(\nabla\cdot v, p)=0~\forall v \in V_h \Rightarrow p =\text{global const.}$

p (x, y) = a + b x + c y

$p(x,y)=a+bx+cy$

v = (b ϕ, c ϕ)

$v=(b\phi,c\phi)$

ϕ

$\phi$

p

$p$

$p$ $p$

Os geradores de malha geralmente têm uma opção para lidar com isso, por exemplo, o gerador bamgde malha 2D de freefem++tem uma -splitpbedgeopção que adiciona um nó no meio de qualquer aresta com ambas as extremidades no limite. De acordo com a bamgdocumentação, a geração de malha não estruturada pode retornar esses triângulos.

— Joce
fonte

Tem certeza de que esse é o caso, por exemplo, de Taylor-Hood em 2D Stokes? Minha intuição me diz que o DOF relacionado à borda salva a situação lá. No 3D Taylor-Hood, não há DOF relacionado à faceta e, portanto, a instabilidade ocorre.

— KNL

Você está certo, pode ser o caso. Acho que a prova de Verfuhrt da condição inf-sup para Taylor-Hood é construtiva o suficiente para verificar isso, mas não há tempo agora.

— Joce