O padrão de esparsidade de um sistema linear é importante para solucionadores iterativos (KSP)?

Praticamente a questão. Dada uma matriz geral esparsa e não simétrica (tanto numérica quanto estruturalmente), qual a importância do padrão de esparsidade (isto é, permutação de linha / coluna da matriz / vetor) para os solucionadores iterativos? Percebo que isso se torna importante para solucionadores diretos (LU) ou pré-condicionadores (ILU), afetando diretamente o número de preenchimentos.

Para solucionadores iterativos, no entanto, parece que a parte mais importante é a operação MatVec, que parece não se importar com o padrão de matriz real. Existe algum componente que possa depender do padrão que não estou considerando aqui?

Que tal em paralelo? Suspeito que o padrão possa se tornar importante na maneira como a matriz e os vetores são distribuídos e, portanto, determina o volume / sobrecarga de comunicação, mas gostaria de ver outros pensamentos e informações.

Estou perguntando isso em geral e também em relação aos solucionadores de KSP do PETSc.

linear-algebra petsc iterative-method

— mmirzadeh
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Só deve haver um problema em paralelo se você tiver um número muito grande de não-congeladores em uma linha ou coluna. Uma matriz de ponta de seta é um bom exemplo de caso (uma matriz diagonal mais uma última linha e coluna densa).

— Jack Poulson #

"Padrão de escarsidade" é a palavra correta aqui? afaik, você perguntar sobre a ordenação das entradas da matriz, enquanto o termo "padrão de dispersão" refere-se a, digamos, diagonal, tridiagonal, bloco-diagonal, etc.

— shuhalo

@ Martin Observe que uma propriedade como "tridiagonal" ainda depende da ordem. Pense em um problema 1D em pedidos aleatórios, por exemplo.

— precisa

O pedido é significativo apenas em equilíbrio de carga / comunicação e adequação ao pré-condicionamento. O método Krylov não se importa com o pedido ou mesmo se as entradas da matriz estão armazenadas.

Na prática, uma ordem incorreta pode exigir muito mais comunicação do que o necessário caso seja multiplicada por uma matriz. Veja a seção do Manual do Usuário do PETSc sobre "Pedido natural" versus "Pedido PETSc" para um exemplo. Além disso, uma ordem correspondente a uma partição paralela incorreta pode tornar os pré-condicionadores de decomposição de domínio menos eficazes. Observe que é a partição que importa aqui, embora uma partição induza uma (classe de equivalência de) pedidos.

— Jed Brown
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