O que há de tão bom nos solucionadores sem derivativos para SDEs?

Estou tentando me familiarizar com as SDEs e tenho lido alguns artigos de revisão sobre o assunto. Eles deixam a impressão de que uma grande quantidade de trabalho foi colocada em solucionadores livres de derivativos. Para meu entendimento, isso significa que, para um DDE como

Eu posso entender que essa propriedade é útil em algumas aplicações em que a derivada é difícil ou computacionalmente inviável de obter ou não existe. No entanto, eu não esperaria que esses problemas fossem muito relevantes na aplicação.

Isso sugere para mim que pelo menos um dos seguintes se aplica:

• Há alguma outra vantagem relevante para os solucionadores sem derivativos que estou perdendo.

• Problemas em que são necessários solucionadores sem derivativos (devido à razão acima) são mais relevantes do que eu acho.

• A demanda por solucionadores livres de derivativos é menor que a “oferta”, ou seja, a atenção dada a eles por aqueles que desenvolvem solucionadores.

Qual é?

Eu posso entender que essa propriedade é útil em algumas aplicações em que a derivada é difícil ou computacionalmente inviável de obter ou não existe. No entanto, eu não esperaria que esses problemas fossem muito relevantes na aplicação.

Se uma solução analítica para a derivada não for conhecida, é muito cara e propensa a erros. O cálculo das jacobianas é de entradas, mas as técnicas de diferenciação numérica precisarão fazer várias chamadas de função por entrada. Então, para acertar, as técnicas de diferenciação numérica precisam ser divididas por um pequeno número ao calcular a derivada, o que causa muitos problemas numéricos.$n^2$

Com as ferramentas de autodiferenciação, esse custo é reduzido, mas ainda pode ser significativo. Portanto, quando os jacobianos analíticos não são prescritos, geralmente é bom ficar longe de métodos que exigem derivados.

No entanto, eu não esperaria que esses problemas fossem muito relevantes na aplicação.

Para a maioria das coisas, como SPDEs não lineares ou grandes sistemas de SDEs (milhares de anos) provenientes da biologia, escrever o jacobiano pode ser quase impossível e propenso a erros. Eu diria que é o contrário: esperar que um jacobiano analítico seja fornecido não é uma boa idéia.

Existem outras vantagens também. Os métodos Runge-Kutta são métodos livres de derivativos e podem fazer muita otimização de coeficiente.

A demanda por solucionadores livres de derivativos é menor que a “oferta”, ou seja, a atenção dada a eles por aqueles que desenvolvem solucionadores.

Esse não é o caso. No DifferentialEquations.jl, os métodos livres de derivativos foram implementados antes dos métodos KPS Stochastic Taylor Series porque, para a maioria dos usuários, levará a facilidade de uso e maior desempenho. Dito isto, no campo das equações diferenciais, sempre é possível encontrar um exemplo contrário, caso contrário, planejo implementar alguns métodos que explicitamente usam derivadas. No entanto, tenho certeza de que a maioria dos usuários provavelmente usará apenas os métodos livres de derivativos, porque a carga cognitiva no final é muito menor.

Não sou especialista em equações diferenciais especificamente estocásticas, mas suponho que minha resposta ainda terá algum valor.

1. A computação da derivada pode ser desafiadora, como você mencionou na sua pergunta. No entanto, isso seria ainda mais pronunciado em um caso multidimensional, pois seria necessário calcular matrizes jacobianas ( entradas). Portanto, os solucionadores sem derivativos sofrerão com a maldição da dimensionalidade. A situação fica ainda pior quando derivativos de ordem superior são necessários para um esquema.$n^2$
2. A computação de um derivado por si só geralmente amplifica o ruído numérico. Portanto, por exemplo, se a função subjacente ( ou ) não for analítica, o erro na derivada poderá distorcer completamente a solução.$f$$g$