Autovetores de um pequeno ajuste de norma

Eu tenho um conjunto de dados que está mudando lentamente e preciso acompanhar os autovetores / autovalores de sua matriz de covariância.

Estou usando scipy.linalg.eigh, mas é muito caro e não usa o fato de eu já ter uma decomposição que é apenas um pouco incorreta.

Alguém pode sugerir uma abordagem melhor para lidar com esse problema?

Uma abordagem ingênua é usar a solução de autovalor de sua matriz como o palpite inicial de um resolvedor de iterativos para a matriz A ( t + δ t ) . Você pode usar o QR se precisar de todo o espectro ou o método de energia de outra forma. Entretanto, essa não é uma abordagem totalmente robusta, pois os autovalores de uma matriz não estão necessariamente próximos de uma matriz quase vizinha (1) , especialmente se estiver mal condicionada (2) .$A(t)$$A(t + \delta t)$

Um método de rastreamento de subespaço é aparentemente mais útil (3) . Um trecho de (4) :

O cálculo iterativo de um par de eigen extremo (máximo ou mínimo) (valor próprio e vetor próprio) pode remontar a 1966 [72]. Em 1980, Thompson propôs um algoritmo adaptativo do tipo LMS para estimar o vetor próprio, que corresponde ao menor valor próprio da matriz de covariância da amostra, e forneceu o algoritmo de rastreamento adaptativo do ângulo / frequência combinado com o estimador harmônico de Pisarenko [14]. Sarkar et al. [73] usaram o algoritmo de gradiente conjugado para rastrear a variação do vetor próprio de extremo valor que corresponde ao menor valor próprio da matriz de covariância do sinal que muda lentamente e provou sua convergência muito mais rápida que o algoritmo do tipo LMS de Thompson. Esses métodos foram usados ​​apenas para rastrear um único valor extremo e um vetor próprio com aplicação limitada, mas depois foram estendidos para os métodos de rastreamento e atualização do subespaço próprio. Em 1990, Comon e Golub [6] propuseram o método de Lanczos para rastrear o valor singular extremo e o vetor singular, que é um método comum projetado originalmente para determinar algum problema simétrico grande e esparso de eigen. [74].$Ax = kx$

[6]: Comon, P., & Golub, GH (1990). Rastreando alguns valores e vetores singulares extremos no processamento de sinais. In Processing of the IEEE (pp. 1327–1343).

[14]: Thompson, PA (1980). Uma técnica de análise espectral adaptativa para frequência imparcial

[72]: Bradbury, WW, & Fletcher, R. (1966). Novos métodos iterativos para soluções do problema próprio. Matemática Numérica, 9 (9), 259–266.

[73]: Sarkar, TK, Dianat, SA, Chen, H. e Brule, JD (1986). Estimação espectral adaptativa pelo método do gradiente conjugado. Transações IEEE sobre Processamento Acústico, de Fala e de Sinais, 34 (2), 272–284.

[74]: Golub, GH, e Van Load, CF (1989). Computação matricial (2ª ed.). Baltimore: The John Hopkins University Press.

Devo também mencionar que soluções para matrizes simétricas, como o que você deve resolver devido ao seu uso scipy.linalg.eigh, são um pouco baratas. Se você estiver interessado apenas em alguns autovalores, também poderá encontrar melhorias de velocidade no seu método. O método Arnoldi é frequentemente usado em tais situações.

$t^0$$\mathcal{O}(N^3)$$\mathcal{O}(k N^2)$$N$$k$

Aqui estão algumas referências relevantes:

Composição adaptativa de Eigend de matrizes de covariância de dados com base em perturbações de primeira ordem (Champagne, IEEE TSP 42 (10) 1994)

Atualização recursiva da decomposição de autovalores de uma matriz de covariância (Yu, IEEE TSP, 39 (5) 1991)

Análise on-line de componentes principais em alta dimensão: qual algoritmo escolher? (Cardot e Degras)

Um algoritmo estável e rápido para atualizar a decomposição de valor singular (Gu e Eisenstadt, 1994)