Métricas comumente usadas para quantificar a irregularidade de uma malha triangular

Digamos que você tenha uma malha triangular em um plano plano. Isso foi desenhado para resolver algum problema mecânico, por exemplo.

Uma malha de triângulos equilaterais é a melhor, na medida em que as distâncias entre os vértices e entre os centróides são as mesmas. Isso torna as interpolações e o cálculo de gradientes uma tarefa fácil e precisa. No entanto, devido a restrições e circunstâncias, nem sempre é possível trabalhar em uma malha de todos os triângulos equilaterais.

Portanto, as perguntas consideram uma malha de elementos triangulares de forma arbitrária.

Relativamente a elementos de malha individuais . Quais métricas são comumente usadas para quantificar a dissimilaridade de um triângulo genérico de alguma forma equilateral ideal subjacente?

Em relação a toda a malha . Quais métricas estão sendo usadas para quantificar a irregularidade de uma malha de triângulos arbitrários em geral? Essas métricas devem indicar como a malha está embaralhada.

Obrigado por pensar.

Nota Todas as contribuições da comunidade de elementos finitos foram muito apreciadas. Para esta pergunta, observe que o interesse é quantificar diferenças puramente na geometria (triângulos arbitrários versus equilaterais). O efeito subsequente nos erros de interpolação e condicionamento está fora do escopo. Concedido que eles podem ser perspicazes e relevantes, eles complicam o manuseio matemático.

Como @Nicoguaro e @Paul disseram nos comentários ao post de perguntas, existem muitas maneiras de fazer esse tipo de coisa, e não tenho certeza se existe uma única "melhor" abordagem.

De um estudo de revisão de Jonathan Richard Shewchuck em Berkley, uma resposta é:

Consulte o documento original (versão 31/12/2002) para simbologia, terminologia, recursos especiais e possivelmente mais (por exemplo, tetraedros). O capítulo 6 trata de medidas de qualidade. O documento vinculado é a versão estendida e, na página do JRS, há também uma abreviada.

Pessoalmente, sou fã da métrica "comprimento do volume". É um bom indicador escalar robusto de qualidade simplex (isotrópica) e é barato de calcular. Em duas dimensões:

$a = \frac{4\sqrt{3}}{3}\frac{A}{\|\mathbf{e}_{\mathrm{rms}}\|^{_2}}$

onde é a área assinada do triângulo eé o comprimento da aresta da raiz quadrada média. Os elementos ideais atingem , que diminui para zero com o aumento da distorção. Elementos invertidos com orientação invertida têm .$A$$\|\mathbf{e}_{\mathrm{rms}}\|$$a=1$$a < 0$

Para avaliar a qualidade de uma triangulação não estruturada, é típico observar os histogramas dessas métricas de qualidade de elementos. Existem muitas implementações de tais coisas por aí, mas uma MATLABbase de código direta minha está aqui .

Além das pontuações em tamanho de volume, os histogramas dos ângulos dos elementos e o grau do vértice também são calculados por padrão.

Eu não acho que exista uma resposta para essa pergunta em geral , porque tudo depende do uso pretendido para a malha. Por exemplo, se você estiver realizando uma dinâmica computacional de fluidos, convém ter uma malha extremamente anisotrópica perto da camada limite. Agora, se você estiver fazendo eletromagnética computacional, a melhor malha provavelmente será completamente diferente.

Existem na literatura muitas definições diferentes para um critério de "qualidade da malha". A maioria deles prefere malhas com triângulos tão equilaterais quanto possível. Também se pode mencionar a ideia de maximizar o menor ângulo (o que é realizado pela triangulação de Delaunay para um conjunto fixo de pontos). É justificado pela análise de Jonathan Shewchuk mencionada em um dos comentários, que relaciona esse ângulo com o número de condição da matriz de rigidez da equação de Laplace discretizada com elementos P1, mas, novamente, dependendo do uso pretendido, a boa malha de alguém pode ser alguém pobre malha do outro.

Não creio que faça sentido "quantificar diferenças puramente na geometria (triângulos arbitrários versus equilaterais)": antes de medir se os triângulos são equilaterais e decidir qual "melhor desvio de equilíbrio" é o melhor, é necessário descobrir se "triângulos equilaterais" é o que queremos, e nem sempre é o caso! Tudo vem da "interpolação e condicionamento" que você mencionou. Sim, como você disse "complica o manuseio matemático", mas sem ele, não é possível fazer a diferença entre critérios objetivos para uma determinada aplicação e critérios que não fazem sentido.