Esquema central de diferenciação para segunda derivada leva a mau condicionamento

O esquema da diferença central: produz uma matriz de coeficiente tridiagonal [ 1 -2 1]; À medida que o número de pontos aumenta, essa matriz fica condicionada. No entanto, essa é uma discretização popular. Por que esse esquema é tão comumente usado quando propenso a maus condicionamentos e qual é a solução alternativa típica para o mau condicionamento?

TL; DR: O operador contínuo exibe esse comportamento, qualquer discretização fiel apenas o herdará.

Corte mais profundo: se você observar o espectro (pares próprios) do operador contínuo , os vetores próprios são funções trigonométricas da forma e , com valor próprio . As funções de baixa frequência (ou seja, funções constantes ou muito suaves) podem ser bem representadas em qualquer grade. À medida que refinar e provar com mais pontos, você aproximará mais de perto as soluções de alta frequência. Portanto, basicamente qualquer discretização desse operador terá um autovalor quase constante e um autovalor que cresce quadraticamente com o número de amostras (portanto, um número de condição$\frac{d^2}{dx^2}$$\cos(kx)$$\sin(kx)$$k^2$$\lambda_{min}$$\lambda_{max}$$\kappa = \lambda_{max}/\lambda_{min}$que cresce quadraticamente com N). Então você não pode realmente escapar desse destino apenas brincando com esquemas de FD versus esquemas de FE, etc.

Isso é problemático para (por exemplo) solucionadores de Krylov ou outras técnicas cuja convergência depende do número da condição (e, portanto, levará uma complexidade de tempo mais do que linear para resolver esse problema). Mas você pode contornar o problema usando a análise multirresolução (especialmente multigrid, que pode resolver esse problema, e muitas outras semelhantes, em ). As propriedades de convergência do multigrid são todas baseadas nesse tipo de análise espectral / de Fourier.$O(N)$