Resolvendo enorme sistema linear denso?

Existe alguma esperança em resolver o seguinte sistema linear de maneira eficiente com um método iterativo?

$A \in \mathbb{R}^{n \times n}, x \in \mathbb{R}^n, b \in \mathbb{R}^n \text{, with } n > 10^6$

$Ax=b$

com

$A=(\Delta - K)$ , onde$\Delta$ é uma matriz muito esparsa com algumas diagonais, decorrente da discretização do operador de Laplace. Na diagonal principal há$-6$ e há$6$ outras diagonais com$1$ .

$K$ é umamatriz$\mathbb{R}^{n \times n}$ completa que consiste completamente de uma.

resolução de A = $A=\Delta$ funciona bem com métodos iterativos como Gauss-Seidel, porque é uma matriz esparsa na diagonal dominante. Suspeito que o problema $A=(\Delta - K)$ seja praticamente impossível de resolver com eficiência para um grande número de $n$ , mas existe algum truque para resolvê-lo, explorando a estrutura de $K$ ?

EDIT: faria algo como

$\Delta x^{k+1} = b + Kx^{k}$ // resolva para$x^{k+1}$ com Gauss-Seidel

$\rho(\Delta^{-1} K) < 1$$\rho$$\Delta^{-1} K$$n$$n=256$

$\Delta$

$\Delta \in \mathbb{R}^{n \times n}$

É criado da seguinte maneira no matlab

n=W*H*D;

e=ones(W*H*D,1);

d=[e,e,e,-6*e,e,e,e];

delta=spdiags(d, [-W*H, -W, -1, 0, 1, W, W*H], n, n);

$n>10^6$$n \approx 10^{12}$$\Delta$$\Delta$

• Use o sistema limitado

onde é um vetor de coluna que consiste em todos e resolve o sistema$\ee$

usando um solucionador iterativo ou direto.

• Use um método Krylov e aplique a matriz como (ou seja, matriz esparsa mais correção de classificação 1. Use seu pré-condicionador existente ou , especialmente se você quiser usar uma resolução direta com , atualize-a com a fórmula de Sherman-Morrison .$A$$\Delta - \ee \ee^T$$P^{-1} \approx \Delta^{-1}$$\Delta$