Matriz exponencial de uma matriz hamiltoniana

Sejam matrizes reais, quadradas e densas. e são simétricos. Deixei $A, G, Q$ $G$ $Q$

H = [\begin{matrix} A & - G \\ - Q & - A^{T} \end{matrix}]

$H = \begin{bmatrix} A & -G \\ -Q &-A^T \end{bmatrix}$

ser uma matriz hamiltoniana. Eu quero calcular o exponencial matriz de . Preciso da exponencial da matriz completa, , não apenas do produto vetor de matriz. Existem algoritmos ou bibliotecas especializadas disponíveis para calcular o exponencial de uma matriz hamiltoniana? $H$ $e^{tH}$

linear-algebra matrix dense-matrix

— Max Behr
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Você quer a própria matriz exponencial ou realmente deseja apenas resolver o ODE ?

\dot{z} = H z

$\dot z = Hz$

— Daniel Shapero

Eu preciso do próprio Matrix Exponential. Mas equivalentemente posso resolver a ODE .

\dot{Z} = H Z, Z (0) = I

$\dot{Z} = H Z,\ Z(0)=I$

— Max Behr

A estrutura de Benner que preserva solventes próprios pode lidar com a transformação de similaridade para facilitar a computação exponencial da matriz.

— percusse

@RichardZhang A maneira brutal é a decomposição de QZ. Verifique, por exemplo, a partir de link.springer.com/article/10.1007/s002110050315 para obter mais detalhes.

— percusse

O artigo 19 maneiras dúbias de calcular o exponencial de uma matriz, 25 anos depois, aborda muitas maneiras ruins (e algumas boas) de calcular o exponencial da matriz. Não é específico para problemas hamiltonianos, mas é realmente valioso se você estiver trabalhando nesses tipos de problemas.

— 21718 Daniel Shapero

Respostas:

Resposta muito rápida ...

O exponencial de uma matriz hamiltoniana é simplético, uma propriedade que você provavelmente deseja preservar; caso contrário, você simplesmente usaria um método que não preserva a estrutura. De fato, não há vantagem real de velocidade no uso de método estruturado, apenas preservação de estrutura.

Uma maneira possível de resolver seu problema é o seguinte. Primeiro encontre uma matriz simplética tal que é hamiltoniano e bloqueia o triangular superior e possui valores próprios no semiplano esquerdo. Você obtém essa matriz, por exemplo, tomando , em que resolve a equação de Riccati associada a , ou (mais estável por ser ortogonal) reordenando a decomposição de Schur de e aplicando o truque de Laub (ou seja, substituindo o fator Schur unitário por $\hat{H}=M^{-1}HM=\begin{bmatrix} \hat{A} & -\hat{G}\\ 0 & -\hat{A}^T \end{bmatrix}$ $\hat{A}$ $\begin{bmatrix}I & 0\\ X & I\end{bmatrix}$ $X$ $H$ $H$ $\begin{bmatrix}U_{11} & U_{12} \\ U_{21} & U_{22}\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}U_{11} & -U_{12} \\ U_{12} & U_{11}\end{bmatrix}$ ). Você pode ter problemas para fazê-lo se o Hamiltoniano tiver autovalores no eixo imaginário, mas essa é uma longa história e, por enquanto, vou supor que isso não ocorra no seu problema.

Depois de ter , você tem e pode calcular onde resolve uma certa equação de Lyapunov, acredito que algo como (os sinais podem estar errados; impor e expanda os blocos para obter a equação correta. Consulte "Método Schur-Parlett" para obter uma referência a esse truque). $M$ $\exp(H)=M\exp(\hat{H})M^{-1}$

\exp (\hat{H}) = [\begin{matrix} \exp (\hat{A}) & X \\ 0 & \exp (- {\hat{A}}^{T}) \end{matrix}],

$\exp(\hat{H}) = \begin{bmatrix} \exp(\hat{A}) & X\\ 0 & \exp(-\hat{A}^T) \end{bmatrix},$

X

$X$

\hat{A} X + X {\hat{A}}^{T} = - \exp (\hat{A}) \hat{G} - \hat{G} \exp (- {\hat{A}}^{T})

$\hat{A} X + X \hat{A}^T = -\exp(\hat{A}) \hat{G} - \hat{G} \exp(-\hat{A}^T)$

\exp (\hat{H}) \hat{H} = \hat{H} \exp (\hat{H})

$\exp(\hat{H})\hat{H}=\hat{H}\exp(\hat{H})$

Então os três fatores são exatamente simpléticos. Apenas use-os separadamente: não calcule o produto ou você perderá essa propriedade numericamente.

— Federico Poloni
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Atualmente, estou fazendo isso de uma maneira um pouco diferente. Eu uso a solução estabilizadora spd do ARE para configurar a transformação de similaridade para e obter como na sua sugestão. Então deixe a solução do Lyap.eqn e configure uma segunda transf de similaridade. . Aplicando isso a e obtendo , que é diagonal de bloco com e como blocos

H

$H$

\tilde{H} = [\begin{matrix} \hat{A} & - G \\ 0 & - {\hat{A}}^{T} \end{matrix}]

$\tilde{H}= \begin{bmatrix} \hat{A} & -G \\ 0 & -\hat{A}^T \end{bmatrix}$

X_{L}

$X_L$

\hat{A} X_{L} + X_{L} {\hat{A}}^{T} = - G

$\hat{A} X_L + X_L \hat{A}^T = -G$

M_{2} = [\begin{matrix} I & X_{L} \\ 0 & I \end{matrix}]

$M_2=\begin{bmatrix} I & X_L \\ 0 & I \end{bmatrix}$

\hat{H}

$\hat{H}$

\hat{\hat{H}}

$\hat{\hat{H}}$

\hat{A}

$\hat{A}$

\hat{- A^{T}}

$\hat{-A^T}$

— Max Behr

Você pode ter uma opção para usar matrizes hierárquicas ( -matrices) e a funcionalidade correspondente das bibliotecas que as suportam. $\mathcal H$

Efetivamente, se todas as matrizes , e são bem e eficientemente representadas no formato -matrix, a matriz Hamiltoniana do bloco é efetivamente uma matriz . A questão sobre a representação de , e na forma hierárquica se resume à sua origem: se alguém puder encontrar estruturas de baixo escalão dentro delas (possíveis permutações de índices de linha / coluna aplicadas), essa abordagem será viável. Um exemplo plausível seria se , e $A$ $G$ $Q$ $\mathcal H$ $H$ $\mathcal H$ $A$ $G$ $Q$ $A$ $G$ $Q$ provêm de uma equação integral que também explica sua estrutura densa e seu potencial de compressão (dependendo do kernel).

O requisito formal para que esse método funcione será se for representável no formato -matrix; no entanto, eu começaria diretamente da construção da representação matriz de , e e esperaria o melhor. $(H-\lambda I)^{-1}$ $\mathcal H$ $\mathcal H$ $A$ $G$ $Q$

A aplicação de matrices na exponenciação da matriz é bem discutida em: $\mathcal H$

I. Gaviallyuk, W. Hackbusch e B. Khoromskij, " - aproximação da matriz para o operador exponencial com aplicativos". Numerische Mathematik , 92, 83-111, 2002. $\mathcal{H}$

Existem várias bibliotecas que suportam matrices. Eu sei que o antigo Lib suportava alguma exponenciação de matriz de formulário e tinha as peças necessárias para criar uma. $\mathcal H$ $\mathcal H$

Desvantagens dessa abordagem:

depende da representação eficiente de , e $A$ $G$ $Q$
não tira proveito da estrutura hamiltoniana

Positivos:

a representação compactada da matriz exponencial, embora ainda seja uma matriz, não apenas uma maneira de fazer um MVP
complexidade logarítmica linear (desde que exista a suposição de baixa patente)
a biblioteca pode tirar proveito da transposição e simetria nos blocos

— Anton Menshov
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