Valor absoluto em restrições lineares

Eu tenho o seguinte problema de otimização, onde tenho valor absoluto em minhas restrições:

$\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$$\mathbf{f}_0, \mathbf{f}_1, \ldots, \mathbf{f}_m$$n$

$$\begin{align} \min &\mathbf{f}_0^T \mathbf{x} \notag \\ \text{s.t.} &|\mathbf{f}_1^T \mathbf{x}| \leq |\mathbf{f}_2^T \mathbf{x}| \leq \ldots \leq |\mathbf{f}_m^T \mathbf{x}| \end{align}$$

Sei que o espaço viável não será convexo e provavelmente precisarei de um MILP para resolver o problema. Estou procurando o menor número de variáveis ​​binárias que eu precisaria e a instalação que resolveria o problema.

Lidar com valores absolutos geralmente é fácil quando apenas um lado da desigualdade tem um valor absoluto (http://lpsolve.sourceforge.net/5.1/absolute.htm); neste caso, porém, parece ser mais complicado.

Agradeço antecipadamente.

A maneira mais fácil é adicionar $m$ valores binários $s_i \in {0,1}$ e resolver

$$\begin{align} \min &\mathbf{f}_0^T \mathbf{x} \notag \\ \text{s.t.} & 0 \le (2s_i-1) \mathbf{f}^T_i \mathbf{x} \le (2s_{i+1}-1) \mathbf{f}^T_{i+1} \mathbf{x} & \forall i\end{align}$$

Penso que (1) não existe nada substancialmente mais rápido ou (2) existe um truque especial para reformular como um programa convexo. Provavelmente (1).

Você pode usar um solucionador para problemas não suaves. Consulte http://www.mat.univie.ac.at/~neum/glopt/software_l.html#nonsm