Esquema de diferenças finitas para “equação de onda”, método de características

Considere o seguinte problema que o termo forçado pode depender de (consulte o Edit 1 abaixo para a formulação) e e seus primeiros derivados. Esta é uma equação de onda dimensional 1 + 1. Temos dados iniciais prescritos em .

W_{u v} = F

$W_{uv} = F$

u, v

$u,v$

W

$W$

{u + v = 0}

$\{u+v = 0\}$

Estou interessado na solução dentro do domínio da dependência de um intervalo e estou considerando o seguinte esquema de diferenças finitas.

{u + v = 0, u \in [- u_{M}, u_{M}]}

$\{ u+v = 0, u \in [- u_M,u_M]\}$

O objetivo é evoluir por e da mesma forma . Esse esquema é integrável no sentido de que para que eu possa calcular consistentemente partir dos dados iniciais, integrando-o para cima; portanto, eu realmente preciso apenas olhar para as equações de evolução para e . $W_u$ $W_u(u,v+1) - W_u(u,v) = F(u,v)$ $W_v(u+1,v) - W_v(u,v) = F(u,v)$ $W (u, v) + W_{u} (u, v) + W_{v} (u + 1, v) = W (u + 1, v + 1) = W (u, v) + W_{v} (u, v) + W_{u} (u, v + 1)$ $W(u,v) + W_u(u,v) + W_v(u+1,v) = W(u+1,v+1) = W(u,v) + W_v(u,v) + W_u(u,v+1)$ $W$ $W_v$ $W_u$
Para os dados iniciais, precisamos da condição de compatibilidade . O que sugere que pode calcular os dados iniciais utilizando a frente (em ) diferença finita de no tempo inicial com os valores de um dado $W_u(u,v) - W_v(u+1,v-1) = W(u+1,v-1) - W(u,v)$ $u$ $W$ $W_t$ em pontos semi-inteiros . $(u+0.5,v-0.5)$

Pergunta :

Este é um esquema bem conhecido? Em particular, onde posso encontrar uma análise desse esquema?
Algo óbvio que eu deveria procurar?

Antecedentes : Finja que não sei quase nada (o que provavelmente é verdade, pois sou um matemático puro tentando aprender um pouco das máquinas de computação).

Edit 1 : Apenas para esclarecer (para abordar alguns comentários): a equação em coordenadas seria e e são coordenadas nulas dadas por (até alguns fatores de renormalização de) 2) e . Portanto, os dados iniciais em estão de fato em . $x$ $t$

W_{t t} - W_{x x} = F

$W_{tt} - W_{xx} = F$

u

$u$

v

$v$

u = t + x

$u = t+x$

v = t - x

$v = t-x$

{u + v = 0}

$\{u+v = 0\}$

{t = 0}

$\{t = 0\}$

Então, em vez de uma malha adaptada a , considero uma malha adaptada a que é rotacionada a 45 graus. Comparado com que assume valores inteiros, pode-se pensar na malha como tendo pontos adicionais em que ambos (mas não apenas um) e assumem valores semi-inteiros. $(t,x)$ $(u,v)$ $(t,x)$ $t,x$ $u,v$ $t$ $x$

finite-difference reference-request hyperbolic-pde

— Willie Wong
fonte

Estou um pouco confuso com seus subscritos, mas isso me parece uma espécie de formulação no domínio do tempo com diferenças finitas . . . talvez com uma formulação de malha escalonada (meios índices?).

— meawoppl 7/09/12

@meawoppl: Ele apenas chama suas variáveis

vez de

como é comum. (No habitual

formulação, eles são também rodado por

no plano do espaço-tempo contra

, mas isso é uma questão separada.)

u, v

$u,v$

x, t

$x,t$

u, v

$u,v$

45^{\circ}

$45^\circ$

x, t

$x,t$

— Wolfgang Bangerth

Eu editei para esclarecer (a explicação de Wolfgang Bangerth é o que eu tinha em mente).

— Willie Wong

Respostas:

Definitivamente, há literatura sobre esquemas como esse. Duas palavras-chave são

Método de características modificado
Esquemas semi-lagrangianos

Após 20 minutos de pesquisa no Google: alguns artigos possivelmente importantes são http://dx.doi.org/10.1137/0719063 e http://dx.doi.org/10.1137/0728024 (pesquisa a partir daí). Provavelmente essas não são as melhores referências, mas devem ser o ponto de partida para você entrar na literatura certa.

Penso nisso como um método rotativo de linhas com divisão dimensional. Presumivelmente, você está muito ciente da equivalência de sua equação e da forma usual da equação de onda sob a transformação Para mim, é útil pensar em seu esquema em termos dessa forma tradicional da equação de onda. O que o esquema faz é integrar primeiro um conjunto de características, depois outro. A integração é feita usando a divisão dimensional e o método de Euler

W_{t t} - W_{x x} = F

$W_{tt}-W_{xx} = F$

u = t + x, v = t - x .

$u = t+x, \ \ \ \ v = t-x.$ , ambos com precisão de primeira ordem.

Obviamente, como você está integrando características, seu esquema seria exato no caso . Ou seja, os erros numéricos em seu esquema serão devidos apenas à integração numérica de (isso pode ser óbvio, mas talvez seja útil apontar para aqueles que estão acostumados a métodos numéricos mais tradicionais). Além disso, seu esquema é incondicionalmente estável para o caso . Nada mais pode ser dito sobre a sua estabilidade sem saber algumas propriedades de . Em geral, o esquema será estável apenas sob alguma restrição de tamanho de etapa finita (já que o método de Euler é explícito). Se o jacobiano de $F=0$ $F$ $F=0$ $F$ $F$ tiver valores próprios puramente imaginários, o esquema será instável.

A abordagem geral de discretização da redução de um PDE para um sistema de ODEs (como no seu método) é conhecida como método de linhas. Como em qualquer método de discretização de linhas, você pode aumentar a ordem da precisão usando um solucionador de ODE de ordem superior e melhorar a estabilidade usando um solucionador de ODE implícito apropriado (com o aumento resultante no custo computacional por etapa).

— David Ketcheson
fonte

"mas o Google ajudará você mais" Na verdade, esse é um dos grandes problemas. Não sei exatamente o que procurar no Google (suspeito que a literatura numérica possa usar alguns termos diferentes da literatura pura). Se você puder sugerir algumas palavras-chave que eu deveria procurar, ficaria grato. ( "Método de linhas", por exemplo, está me apontando para uma verdadeira riqueza de informações [talvez até um pouco demais para mim ser capaz de filtro através :-)].)

— Willie Wong

@WillieWong - Uma referência para equações hiperbólicas que comumente citamos são os Métodos de volume finito de LeVeque para problemas hiperbólicos . Não tenho certeza se essa é a referência certa para você começar, mas pelo menos fornecerá uma introdução aos termos e técnicas no campo.

— Aron Ahmadia 10/09/12

Ok, eu adicionei algumas palavras-chave e referências. Espero que eles ajudem.

— David Ketcheson

Muito obrigado pelas referências! Isso me deu um bom começo.

— Willie Wong

A partir de onde David Ketcheson me deixou em sua resposta, um pouco mais de pesquisa revelou algumas anotações históricas.

O esquema que descrevi acima já foi considerado em 1900 por J. Massau, no Mémoire sur l'intégration graphique des equations aux dérivées partielles . O trabalho é republicado em 1952 por G. Delporte, Mons.

A primeira (embora breve) análise moderna de sua convergência foi apresentada por Courant, Friedrichs e Lewy's em seu clássico artigo de 1928 em Math. Ann.

— Willie Wong
fonte

Uau, eu não posso acreditar que eu não sabia que isto estava no papel CFL ...

— David Ketcheson