Impor as condições de compatibilidade para o método dos elementos finitos mistos na equação de Stokes

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$\newcommand{\v}[1]{\boldsymbol{#1}}$ Suponha que tenhamos a seguinte equação do modelo de fluxo Stokes:

{\begin{aligned} - d Eu v (ν \nabla você) + \nabla p & = f \\ d Eu v você & = 0 0 \end{aligned}

$\tag{1} \left\{ \begin{aligned} -\mathrm{div}(\nu \nabla \v{u}) + \nabla p &= \v{f} \\ \mathrm{div} \v{u} &= 0 \end{aligned} \right.$ onde a viscosidade

ν (x)

$\nu(x)$ é uma função, para o elemento finito misto padrão, diz-se que usamos o par estável: espaço Crouzeix-Raviart

V_{h}

$\v{V}_h$ para a velocidade

u

$\v{u}$ e o espaço constante entre elementos

S_{h}

$S_h$ para a pressão

p

$p$ , temos a seguinte forma variacional:

L ([u, p], [v, q]) = \int_{Ω} ν \nabla você : \nabla v - \int_{Ω} q d Eu v você - \int_{Ω} p d Eu v v = \int_{Ω} f \cdot v \forall v \times q \in V_{h} \times S_{h}

$\mathcal{L}([\v{u},p],[\v{v},q]) = \int_{\Omega} \nu \nabla\v{u}:\nabla \v{v} -\int_{\Omega} q\mathrm{div} \v{u} -\int_{\Omega} p\mathrm{div} \v{v} =\int_{\Omega} \v{f}\cdot \v{v} \quad \forall \v{v}\times q\in \v{V}_h\times S_h$

e sabemos que, como o multiplicador Lagrange $p$ pode ser determinado até uma constante, a matriz finalmente montada deve ter um espaço nulo $1$ ; para contornar isso, poderíamos forçar a pressão $p$ de um certo elemento como zero, para que não precisemos resolver um sistema singular.

Então, aqui está a minha pergunta 1:

(Q1) Existe outra maneira de aplicar $p=0$ em algum elemento para eliminar o kernel do elemento finito misto padrão? ou, digamos, qualquer solucionador por aí capaz de resolver o sistema singular para obter uma solução compatível? (ou algumas referências são bem-vindas)

E sobre a compatibilidade, pois (1) deve ser e o pequeno truque é calcular como o que obtivemos da solução de o sistema linear subtraído por sua média ponderada:

\int_{Ω} ν^{- 1} p = 0 0

$\int_{\Omega} \nu^{-1} p = 0$

\tilde{p}

$\tilde{p}$

p

$p$

\begin{matrix} (2) & \tilde{p} = p - \frac{ν}{| Ω |} \int_{Ω} ν^{- 1} p \end{matrix}

$\tag{2} \tilde{p} = p - \frac{\nu}{|\Omega|}\int_{\Omega} \nu^{-1} p$

No entanto, recentemente implementei um elemento finito misto estabilizado para a equação de Stokes por Bochev, Dohrmann e Gunzberger $P_1-P_0$ , no qual eles adicionaram um termo estabilizado à formulação variacional (1): onde é a projeção do espaço constante por partes para o contínuo por partes , e o núcleo constante do elemento finito misto original se foi, no entanto, coisas estranhas aconteceram (2) não não funcionou mais, cunhei o problema do teste de

\tilde{L} ([u, p], [v, q]) = L ([u, p], [v, q]) - \int_{Ω} (p - Π_{1} p) (q - Π_{1} q) = \int_{Ω} f \cdot v \forall v \times q \in V_{h} \times S_{h}

$\widetilde{\mathcal{L}}([\v{u},p],[\v{v},q]) =\mathcal{L}([\v{u},p],[\v{v},q]) -\int_{\Omega} (p - \Pi_1 p)(q -\Pi_1 q) =\int_{\Omega} \v{f}\cdot \v{v} \quad \forall \v{v}\times q\in \v{V}_h\times S_h$

Π_{1}

$\Pi_1$

P_{0}

$P_0$

P_{1}

$P_1$ um problema de interface para a equação de difusão , é isso que eu tenho para a pressão , a correta é a verdadeira solução e a esquerda é a aproximação numérica:

p

$p$

Teste Stokes 1

no entanto, se for uma constante, o problema do teste funcionará perfeitamente: $\nu$ Teste de Stokes 2

Eu estou supondo que é porque, da maneira como estou impondo a condição de compatibilidade, uma vez que está vinculada à estabilidade inf-sup de todo o sistema, aqui está minha segunda pergunta:

(Q2): existe outra maneira além de (2) de impor a compatibilidade para a pressão ? ou ao cunhar o problema do teste, que tipo de devo usar? $p$ $p$

finite-element

— Shuhao Cao
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MathML não está funcionando?

— Shuhao Cao 10/09/12

Usamos o MathJaX no StackExchange, tudo o que você postou está aparecendo muito bem, obrigado pela pergunta detalhada.

— Aron Ahmadia 11/09/12

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A condição de compatibilidade diz respeito à velocidade, não à pressão. Ele afirma que se você tiver apenas condições de limite de Dirichlet para a velocidade, elas deverão ser compatíveis com a restrição livre de divergências, ou seja, com o limite da domínio computacional (não a célula). $\int_{\partial \Omega} u \cdot n = 0$ $\partial \Omega$

Nesse caso, não pode ser distinguido de com uma constante arbitrária porque você não possui condição de limite em para corrigir a constante. Portanto, existem infinitas soluções para a pressão e, para comparar soluções, é necessária uma convenção. Os matemáticos preferem escolher tal que (porque eles podem se integrar), enquanto o físico prefere (porque eles podem medir em um ponto). Se é seu equivalente discreto de , isso implica que $\nabla p$ $\nabla (p + c)$ $c$ $p$ $c$ $\overline{p}=p_\mathrm{ref}$ $p(x_\mathrm{ref}) = p_\mathrm{ref}$ $Bp$ $\nabla p$ $B$ possui um espaço nulo que consiste no vetor de identidade.

Os métodos do subespaço Krylov podem resolver um sistema singular removendo o espaço nulo do subespaço Krylov no qual eles procuram a solução. No entanto, isso não significa que você obterá a solução que corresponde a uma determinada convenção; sempre será necessário determinar a constante em uma etapa de pós-processamento; nenhum solucionador pode fazer isso por você. $p$

Aqui estão algumas sugestões para resolver seu problema:

$\nu$ $x$
Seu campo de velocidade atende à restrição de compatibilidade?
$p$ $p-p_\mathrm{exact}$
$B$

— chris
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2

Quanto a (Q1), você pode escolher um solucionador de problemas de ponto de sela que calcule uma solução de mínimos quadrados para o seu sistema. Em seguida, uma condição adicional pode ser imposta ao multiplicador, como definir um grau específico de liberdade, impondo uma média específica.

Em geral, e acho que isso responde (Q1), você pode usar uma restrição linear que pode distinguir diferentes constantes.

Essa restrição pode ser imposta em uma etapa de pós-processamento ou por uma escolha apropriada do espaço de teste (por exemplo, se você deixar de fora um grau de liberdade).

— shuhalo
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