Bons exemplos de "dois são fáceis, três são difíceis" em ciências da computação

Recentemente, encontrei uma formulação do meta-fenômeno : " dois é fácil, três é difícil " (formulado dessa maneira por Federico Poloni), que pode ser descrito da seguinte forma:

Quando um determinado problema é formulado para duas entidades, é relativamente fácil de resolver; no entanto, um algoritmo para uma formulação de três entidades aumenta tremendamente a dificuldade, possivelmente até tornando a solução inviável ou inviável.

_{(Congratulo-me com sugestões para tornar o fraseado mais bonito, conciso e preciso.)}

Que bons exemplos em várias áreas das ciências computacionais (começando da álgebra linear pura e terminando com uma física computacional de termos gerais) você conhece?

Um exemplo que aparece em muitas áreas da física, em particular a mecânica clássica e a física quântica, é o problema dos dois corpos. O problema de dois corpos aqui significa a tarefa de calcular a dinâmica de duas partículas em interação que, por exemplo, interagem por forças gravitacionais ou de Coulomb. A solução para esse problema geralmente pode ser encontrada de forma fechada por uma transformação variável em coordenadas relativas ao centro de massa e relativas.

No entanto, assim que você considera três partículas, em geral não existem soluções de forma fechada .

Um exemplo famoso é o problema de satisfação booleana (SAT). O 2-SAT não é complicado de resolver em tempo polinomial, mas o 3-SAT é NP completo.

Em uma e duas dimensões, todas as estradas levam a Roma, mas não em três dimensões.

Especificamente, dada uma caminhada aleatória (com a mesma probabilidade de se mover em qualquer direção) nos números inteiros em uma ou duas dimensões, então não importa o ponto de partida, com probabilidade uma (também conhecida como quase certamente), a caminhada aleatória acabará por chegar a um determinado local designado ponto ("Roma").

No entanto, para três ou mais dimensões, a probabilidade de chegar a "Roma" é menor que uma; com a probabilidade diminuindo à medida que o número de dimensões aumenta.

Assim, por exemplo, se você estiver realizando uma simulação estocástica (Monte Carlo) de um passeio aleatório a partir de "Roma", que será interrompido quando o retorno de Roma for, então em uma e duas dimensões, você pode ter certeza de voltar para Roma e parando a simulação - tão fácil. Em três dimensões, você nunca poderá voltar tão difícil.

https://en.wikipedia.org/wiki/Random_walk#Higher_dimensions

Para visualizar o caso bidimensional, pode-se imaginar uma pessoa andando aleatoriamente pela cidade. A cidade é efetivamente infinita e organizada em uma grade quadrada de calçadas. Em todo cruzamento, a pessoa escolhe aleatoriamente uma das quatro rotas possíveis (incluindo a originalmente viajada). Formalmente, esta é uma caminhada aleatória no conjunto de todos os pontos no plano com coordenadas inteiras.

A pessoa voltará ao ponto de partida original da caminhada? Este é o equivalente bidimensional do problema de passagem de nível discutido acima. Em 1921, George Pólya provou que a pessoa quase certamente faria uma caminhada aleatória bidimensional, mas para 3 dimensões ou mais, a probabilidade de retornar à origem diminui à medida que o número de dimensões aumenta. Em 3 dimensões, a probabilidade diminui para aproximadamente 34%

Consulte http://mathworld.wolfram.com/PolyasRandomWalkConstants.html para obter valores numéricos.

Aqui está um dos corações dos colaboradores do SciComp.SE:

O problema de existência e suavidade de Navier-Stokes

A versão tridimensional é obviamente um famoso problema aberto e o assunto de um milhão de dólares do Clay Millenium Prize. Mas a versão bidimensional já foi resolvida há muito tempo, com uma resposta afirmativa. Terry Tao observa que a solução remonta essencialmente à tese de Leray em 1933!

Por que o problema tridimensional é muito mais difícil de resolver? A resposta padrão, ondulada à mão, é que a turbulência se torna significativamente mais instável em três dimensões do que em duas. Para obter uma resposta matematicamente mais rigorosa, consulte a declaração oficial de problemas de Charles Fefferman no Clay Institute ou a agradável exposição de Terry Tao sobre as possíveis estratégias de prova .

Na teoria da escolha social, projetar um esquema de eleição com dois candidatos é fácil (regras da maioria), mas projetar um esquema de eleição com três ou mais candidatos envolve necessariamente fazer trocas entre várias condições razoáveis. ( Teorema da impossibilidade de Arrow ).

Diagonalizacao simultânea de duas matrizes $A_1$ e $A_2$ :

No entanto, quando a redução simultânea de três matrizes para uma forma canônica (condição mais fraca em comparação com a acima) é necessária:

Uma aplicação prática seria uma solução para um problema de autovalor quadrático:

Fonte: CF van Loan, "Aula 6: A decomposição de valor singular generalizada de ordem superior", Escola de Verão CIME-EMS, Cetraro, Itália, junho de 2015.

Existem muitos exemplos na computação quântica, embora eu esteja fora disso há um tempo e, portanto, não me lembro de muitos. Uma das principais é que o emaranhamento bipartido (emaranhamento entre dois sistemas) é relativamente fácil, enquanto o emaranhamento entre três ou mais sistemas é uma bagunça não resolvida, com provavelmente cem artigos escritos sobre o assunto.

$\max\left(u_a v_b w_c T^{abc} / \left\lVert u \right\rVert \left\lVert v \right\rVert \left\lVert w \right\rVert \right)$

Este artigo parece relevante, embora eu não o tenha lido: a maioria dos problemas de tensores é dura em NP

A bissecção de ângulos com régua e bússola é simples, a trissecção de ângulos é geralmente impossível.

Inferência de tipo para os tipos Rank-n . A inferência de tipo para o Rank-2 não é especialmente difícil, mas a inferência de tipo para o Rank-3 ou superior é indecidível.

Aqui está um excelente da otimização: o algoritmo ADMM (Alternating Direction Method of Multipliers).

Dada uma função objetiva desacoplada e convexa de duas variáveis ​​(as próprias variáveis ​​poderiam ser vetores) e uma restrição linear acoplando as duas variáveis:

A função Lagrangiana Aumentada para esse problema de otimização seria então

O algoritmo ADMM funciona basicamente executando uma divisão "Gauss-Seidel" na função Lagrangiana aumentada para esse problema de otimização, minimizando $L_{\rho}(x_1, x_2, \lambda)$ primeiro em relação a $x_1$ (enquanto $x_2, \lambda$ permanecer fixo), minimizando $L_{\rho}(x_1, x_2, \lambda)$ em relação a $x_2$ (enquanto $x_1, \lambda$ permanecer fixo) e, em seguida, atualizando $\lambda$. Este ciclo continua até que um critério de parada seja alcançado.

(Nota: alguns pesquisadores como Eckstein descartam a exibição de divisão de Gauss-Siedel em favor de operadores proximais, por exemplo, consulte http://rutcor.rutgers.edu/pub/rrr/reports2012/32_2012.pdf )

Para problemas convexos, foi comprovado que esse algoritmo converge - para dois conjuntos de variáveis. Este não é o caso de três variáveis. Por exemplo, o problema de otimização

Mesmo que todo $f$ são convexas, a abordagem do tipo ADMM (minimizando o Lagrangiano Aumentado em relação a cada variável $x_i$, atualizando a variável dupla $\lambda$) NÃO garante convergência, como foi mostrado neste documento.

https://web.stanford.edu/~yyye/ADMM-final.pdf

Dobrar um pedaço de papel ao meio sem ferramentas é fácil. Dobrar em terços é difícil.

Fatorar um polinômio com duas raízes é fácil. Fatorar um polinômio com três raízes é significativamente mais complicado.

Uma curva suave de grau 2 (ou seja, dada como a solução de $f(x,y) = 0$ Onde $f$é um polinômio de grau 2) com um dado ponto é racional , o que significa que pode ser parametrizado por quocientes de polinômios, e de grau 3 não é. Os primeiros são considerados bem compreendidos, os segundos, chamados curvas elípticas quando um ponto base, ou seja, uma solução específica, é destacado, são objeto de intensa pesquisa.

Essa diferença tem várias implicações:

• No grau 2, existem algoritmos para encontrar todos os pontos racionais (soluções em números racionais); no grau 3, esse algoritmo não é conhecido.
• Integrais envolvendo $\sqrt{f(x)}$ com $f$ do grau 1 ou 2 têm soluções em funções elementares, mas não para $f$ de grau 3 ou superior.
• O problema do logaritmo discreto é tratável nas curvas de grau 2, portanto, não é adequado para aplicações criptográficas, enquanto a dureza assumida do mesmo problema nas curvas elípticas é a base de alguns dos sistemas de criptografia de chave pública mais populares.

A TREEfunção

Podemos calcular TREE(2) = 3, mas TREE(3)não é calculável na vida útil do universo, apenas sabemos que é finito.

Em um espaço bidimensional, você pode introduzir uma estrutura complexa, que pode ser usada para resolver elegantemente muitos problemas (por exemplo , problemas de fluxo em potencial ), mas não existe nenhum análogo em 3 dimensões.

Na física quântica de muitos corpos, estudamos diferentes redes de n spins na estrutura de diferentes modelos (por exemplo, modelo Heisenberg, modelo Bose-Hubbard, modelo Ising, ...). É claro que você tem métodos numéricos diferentes para estudá-los (DMRG, diagonalização exata, redes neurais, ...) e uma das razões pelas quais tentamos desenvolver métodos diferentes é porque você não pode resolver esses modelos quando n se torna "muito alto" e, é claro, é pior se você estudar em dimensões mais altas. Por exemplo, para o modelo de Ising, a diagonalização exata funciona bem em 1d para n não superior a 20. Portanto, para n superior, tente outro método: DMRG. Mas estes últimos funcionam bem para n mais alto (como n = 70, mas não bem para n mais alto). Novamente, você deseja outro método para redes n: neurais mais altas (ou seja, inteligência artificial). E além das redes neurais, você pode estudar "mais facilmente" (ou seja, com relativamente mais alto n) esses modelos em dimensões mais altas (mas para dimensão = 3 e pequeno n, por exemplo, ainda leva muitas horas (vários dias) para obter o estado fundamental ou o observável que você queria ...). Bref, quando n se tornar "muito alto" para seus métodos numéricos (mas também a capacidade do seu computador), você precisará executar novos métodos (e, se puder, usar um super computador) e será o mesmo problema com a dimensão do seu sistema, mas pior, é claro, como você está rapidamente travado (dimensão = 4 é difícil de obter, exceto se você esperar muito tempo ...). ainda leva muitas horas (vários dias) para obter o estado fundamental ou o observável que você queria ...). Bref, quando n se tornar "muito alto" para seus métodos numéricos (mas também a capacidade do seu computador), você precisará executar novos métodos (e, se puder, usar um super computador) e será o mesmo problema com a dimensão do seu sistema, mas pior, é claro, como você está rapidamente travado (dimensão = 4 é difícil de obter, exceto se você esperar muito tempo ...). ainda leva muitas horas (vários dias) para obter o estado fundamental ou o observável que você queria ...). Bref, quando n se tornar "muito alto" para seus métodos numéricos (mas também a capacidade do seu computador), você precisará executar novos métodos (e, se puder, usar um super computador) e será o mesmo problema com a dimensão do seu sistema, mas pior, é claro, como você está rapidamente travado (dimensão = 4 é difícil de obter, exceto se você esperar muito tempo ...).
Claro, aqui, há mais informações adicionais para sua pergunta, porque, na física quântica de muitos corpos, n = 3 não é alto (mas se você usar uma estrutura que é um hipercubo, não poderá usar n = 3 de curso (por causa das condições)).

Mundo real:

% De automação - por exemplo, é fácil automatizar algo em 30% ou 50% ou 80%, enquanto isso é difícil ir, por exemplo, acima de 95% e incrivelmente difícil ou até quase impossível atingir 100%.