Compreendendo as condições de Wolfe para uma pesquisa de linha inexata

De acordo com a Otimização Numérica do Livro de Nocedal & Wright (2006), as condições de Wolfe para uma busca inexata de linhas são, para uma direção de descida ,$p$

Diminuição suficiente: Condição de curvatura: para∇ f ( x + α p ) T p ≥ c 2 ∇ f ( x ) T p 0 < c 1 < c 2 < $f(x+\alpha p)\le f(x)+c_1\alpha_k\nabla f(x)^T p$
$\nabla f(x+\alpha p)^Tp\ge c_2 \nabla f(x)^T p$
$0<c_1<c_2<1$

Eu posso ver como a condição de diminuição suficiente afirma que o valor da função no novo ponto deve estar abaixo da tangente em . Mas não tenho certeza do que a condição da curvatura está me dizendo geometricamente. Além disso, por que a relação ser imposta? O que isso faz, geometricamente?x c 1 < c $x+\alpha p$$x$$c_1<c_2$

A condição de curvatura diz essencialmente o seguinte: Sabemos que (porque é uma direção de descida). Então, na direção , ela vai ladeira abaixo. Agora, estamos procurando um mínimo, ou seja, um ponto em que . Isso significa que não queremos aceitar comprimentos de passo onde o gradiente na direção , ou seja, ainda é tão negativo quanto em x. Em vez disso, queremos parar em um local em que o gradiente seja menos negativo ou até positivo.$\nabla f(x)\cdot p < 0$$p$$p$$\nabla f=0$$x+\alpha p$$p$$\nabla f(x+\alpha p) \cdot p$

Como o lado direito da condição de curvatura é negativo, uma variante comum da condição é exigirque eu costumo achar mais fácil de entender.

Compreender isso permitirá que você construa facilmente casos em que você não pode satisfazer ambas as condições, a menos que .$c_1<c_2$