Matematicamente, por que o agrupamento de vetor de matriz / carga de massa funciona?

Eu sei que as pessoas geralmente substituem matrizes de massa consistentes por matrizes diagonais agrupadas. No passado, eu também implementei um código em que o vetor de carga é montado de maneira agrupada em vez de consistente. Mas nunca examinei por que temos permissão para fazer isso em primeiro lugar.

Qual é a intuição por trás do aglomerado que permite aplicá-lo a vetores de massa e carga? Qual é a justificativa matemática para isso? Em que situações o agrupamento não é permitido / não é uma boa aproximação para vetores de massa e carga?

No método dos elementos finitos, as entradas da matriz e as entradas do lado direito são definidas como integrais. Em geral, não podemos computá-los exatamente e aplicar quadratura. Mas existem muitas fórmulas de quadratura que se pode escolher, e muitas vezes as são escolhidas de maneira que: (i) o erro introduzido pela quadratura seja da mesma ordem que devido à discretização, ou pelo menos não substancialmente pior; e (ii) a matriz tem certas propriedades que se tornam convenientes.

O agrupamento em massa é um exemplo desse trabalho: se alguém escolhe uma fórmula de quadratura específica (a que possui pontos de quadratura localizados nos pontos de interpolação do elemento finito), a matriz de massa resultante é diagonal. Isso é bastante conveniente para a implementação computacional e a razão pela qual as pessoas usam essas fórmulas de quadratura. É também a razão pela qual "funciona": essa escolha específica de fórmula de quadratura ainda tem ordem razoavelmente alta.

As matrizes diagonais têm vantagens óbvias em acelerar os cálculos numéricos, e a resposta de Wolfgang Bangerth é uma boa explicação de como calcular uma matriz de massa diagonal, mas não responde à pergunta do OP "por que isso funciona " no sentido de "por que é é uma boa aproximação à física que você está modelando ".

Conceitualmente, é possível separar a resposta de um elemento em três partes: movimento translacional de um corpo rígido, rotação rígida sobre o centro de massa do elemento e a deformação do elemento.

$\frac 1 2 v^T M v$$v$

$a$$a^3$$a^5$

Portanto, você realmente precisa apenas de uma aproximação "boa" das partes rígidas do corpo do movimento, ou seja, 6 DOFs e, de fato, uma boa aproximação apenas à KE da translação do corpo rígido , ou seja, 3 DOFs, convergirá à medida que o tamanho do elemento for reduzido.

Os termos diagonais da matriz do elemento contêm parâmetros independentes mais do que suficientes para representar esses 3 ou 6 termos KE com precisão suficiente. De fato, para elementos de ordem superior, é possível usar matrizes de massa diagonais de massa em que os termos diagonais dos nós do meio são zero.

Observe que esta é uma situação completamente diferente da energia potencial do elemento, onde as contribuições da translação e rotação rígidas do corpo são zero, e a única coisa que importa é representar a energia de deformação correspondente à deformação do elemento . Uma matriz de rigidez diagonal não seria, portanto, uma ideia viável!

Além das outras respostas, existem cenários em que erros na matriz de massa não influenciam o resultado desejado.

$K(u) \space u = f(u)$$\hat{u}$$K(u) \space u + C(u) \space \dot{u} + M \space \ddot{u} = f(u)$$M$$C$$\dot{u} = \ddot{u} = 0$$M$

$M$$M^{-1}$

^{1 Embora o raciocínio sobre o comportamento físico dinâmico seja obviamente mais fácil com uma matriz de massa "correta" - por exemplo, o momento angular pode ser incorretamente conservado por matrizes de massa agrupadas.}