Algoritmo mais rápido para calcular o número de condição de uma matriz grande no Matlab / Octave

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A partir da definição do número da condição, parece que é necessária uma inversão da matriz para calculá-la. Será que para uma matriz quadrada genérica (ou melhor, se a definição positiva simétrica positiva) é possível explorar alguma decomposição da matriz para calcular o número da condição em um maneira mais rápida.

linear-algebra matrix condition-number

— linello
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Computar o número da condição (mesmo aproximando-o dentro de um fator de 2) parece ter a mesma complexidade que calcular uma fatoração, embora não haja teoremas nessa direção.

A partir de um fator Cholesky esparso de uma matriz definida positiva simétrica ou de uma fatoração esparsa (com implícito ) de uma matriz quadrada geral, é possível obter o número da condição na norma Frobenius calculando o subconjunto inverso esparso de , que é muito mais rápido do que computar o inverso completo. (Relacionado a este é o meu artigo: Normas e limites híbridos para sistemas lineares sobredeterminados, Linear Algebra Appl. 216 (1995), 257-266. Http://www.mat.univie.ac.at/~neum/scan/74 .pdf ) $R$ $QR$ $Q$ $(R^TR)^{-1}$

Editar: Se , em seguida, no que diz respeito a qualquer norn unitariamente invariante, $A=QR$ Para o cálculo de fatorações QR esparsas, consulte, por exemplo,http://dl.acm.org/citation.cfm?id=174408. Para o cálculo do inverso esparso, veja, por exemplo, meu artigo: Estimativa de verossimilhança máxima restrita de covariâncias em modelos lineares esparsos, Genetics Selection Evolution 30 (1998), 1-24. https://www.mat.univie.ac.at/~neum/ms/reml.pdf O custo é cerca de 3 vezes o custo da fatoração.

c o n d (A) = c o n d (R) = \sqrt{c o n d (R^{T} R)} .

$cond(A)=cond(R)=\sqrt{cond(R^TR)}.$

— Arnold Neumaier
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Então você está sugerindo o seguinte: Dada uma matriz

calcule seu QR da forma

que

é uma matriz triangular superior e

é uma matriz ortogonal e, em seguida, o número da condição é dado por

O ponto aqui é como encontrar um método rápido para calcular uma fatoração QR. Estou certo?

A

$\mathbf{A}$

A = Q R

$\mathbf{A}=\mathbf{Q}\mathbf{R}$

R

$\mathbf{R}$

Q

$\mathbf{Q}$

cond (A) = | | A | | | | A^{- 1} | | (R^{T} R)^{- 1}

$\textrm{cond}(\mathbf{A})=||A|| ||A^{-1}|| (\mathbf{R}^T\mathbf{R})^{-1}$

— linello

@linello: não exatamente; veja minha edição.

— Arnold Neumaier 22/10/12

Obrigado! Vou verificar, mas qual é o custo dessa etapa?

— Linux 22/10/12

@linello: Para uma matriz completa,

; para uma matriz esparsa, isso depende muito da estrutura de esparsidade.

O (n^{3})

$O(n^3)$

— Arnold Neumaier 22/10/12

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Certamente é fácil usar a decomposição de valor próprio / vetor próprio de uma matriz simétrica ou o SVD de uma matriz geral para calcular o número da condição, mas essas não são formas particularmente rápidas de proceder.

$A^{-1}$ condest

— Brian Borchers
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Mas a estimativa às vezes é significativamente pequena demais. Computar o número da condição (mesmo aproximando-o dentro de um fator de 2) parece ter a mesma complexidade que calcular uma fatoração, embora não haja teoremas nessa direção.

— Arnold Neumaier 22/10/12

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$H$ $H$ $H^TH$

Como os maiores e menores valores próprios / valores singulares podem ser encontrados muito rapidamente (muito antes da conclusão da tridiagonalização), o método Lanczos é particularmente útil para calcular o número da condição.

— chaohuang
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Sempre me perguntei onde encontrar um código leglab legível para a iteração de lanczos, que esclarece como obter o menor ou maior valor próprio. Você pode me sugerir uma?

— Linux 23/10/12

Eu não tenho os códigos MATLAB para o algoritmo de Lanczos.

— chaohuang