Quais métodos de integração do tempo devemos usar para EDPs hiperbólicas?

Se empregarmos o Método de Linhas para discretização (discretização separada de tempo e espaço) de EDPs hiperbólicas, obtemos após a discretização espacial por nosso método numérico favorito (fx. Método do Volume Finito) na prática importa qual solucionador de ODE empregamos para a discretização temporal (TVD / SSP / etc)?

Algumas informações adicionais foram adicionadas: O problema de precisão pode ser um problema para problemas não suaves. É sabido que os PDEs hiperbólicos não lineares podem desenvolver choques em tempo finito, apesar da solução inicial ser suave, caso em que a precisão pode degradar para a primeira ordem para métodos de alta ordem.

A análise de estabilidade do ODE é normalmente feita com base na linearização para obter um sistema semi-discreto linear de EDOs da forma q_t = J q (com qa vetor de perturbação), onde os valores próprios de J devem ser escalados dentro da região de estabilidade absoluta do tempo escolhido. método de piso. Estratégias alternativas são usar pseudoespectra ou possivelmente um método energético para análise de estabilidade.

Entendo que a motivação para os métodos de TVD / SSP é evitar oscilações espúrias causadas pelos métodos de escalonamento do tempo que podem resultar em comportamento não físico. A questão é se a experiência mostra que esses tipos de métodos de escalonamento do tempo são superiores em comparação com, por exemplo, um cavalo de trabalho clássico como método explícito de Runge-Kutta ou outros. Obviamente, eles devem ter melhores propriedades para classes de problemas em que a solução pode apresentar choques. Pode-se, portanto, argumentar que devemos empregar apenas esses tipos de métodos para a integração no tempo.

Não sei se você ainda está interessado em uma resposta, mas aqui vou eu de qualquer maneira:

Você já disse que conhece a formação de choques em equações não lineares. É exatamente por isso que você deve escolher seu integrador de tempo com cuidado. Não adianta aplicar uma discretização espacial do TVD quando a discretização do tempo não é - você verá as mesmas oscilações que provavelmente já viu com fluxos numéricos de ordem superior.

O que se resume é que o Euler avançado funciona. Você já mencionou o SSP (forte estabilidade de preservação) em sua pergunta. Esta é uma classe especial de métodos Runge-Kutta que faz uso disso. Basicamente, você deve escolher os coeficientes do método de forma que ele possa ser escrito como uma combinação convexa de etapas de Euler. Dessa forma, propriedades como TVD e outras serão preservadas.

Há um livro muito bom sobre métodos SSP de Gottlieb, Ketcheson e Shu chamado "Forte Estabilidade Preservando Discretizações de Tempo Runge-Kutta e Multistep" amazon link

Sim, isso importa. As duas coisas habituais para se preocupar:

1. Precisão. Alguns esquemas de EDO são mais precisos que outros, de ordem superior e assim por diante. A regra geral é escolher um método com ordem de precisão semelhante à sua discretização espacial.

2. Estabilidade. Para problemas hiperbólicos, você espera que o operador tenha autovalores imaginários puros; portanto, você deseja um solucionador de ODE que inclua parte do acesso imaginário em seu domínio de estabilidade. Veja, por exemplo, o Apêndice G em Fornberg, Um Guia Prático de Métodos Pseudoespectrais.

Com equações hiperbólicas, algumas pessoas querem garantir que suas soluções sejam sempre positivas, portanto, existem vários tipos de filtros e truques para garantir isso. Mas não sei quase nada sobre isso.

Estou longe de ser um especialista, mas pensei em tentar responder, já que a pergunta está aqui há um tempo.