Quais discretizações espaciais funcionam para fluxo incompressível com malhas de limite anisotrópico?

Os altos fluxos de número de Reynolds produzem camadas de limite muito finas. Se a resolução de parede for usada na simulação de redemoinho grande, a proporção da imagem pode ser da ordem de $10^6$ . Muitos métodos se tornam instáveis ​​nesse regime porque a constante inf-sup se degrada como raiz quadrada da proporção ou pior. A constante inf-sup é importante porque afeta o número da condição do sistema linear e as propriedades de aproximação da solução discreta. Em particular, os seguintes limites a priori da retenção por erro discreto (Brezzi e Fortin 1991)

$$\begin{split} \mu \lVert {\mathbf u} - \mathbf u_h \rVert_{H^1} \le C \left[ \frac{\mu}{\beta} \inf_{\mathbf v \in \mathcal V} \lVert{\mathbf u - \mathbf v}\rVert_{H^1} + \inf_{q \in \mathcal Q} \lVert p-q \rVert_{L^2} \right] \\ \lVert{p - p_h}\rVert_{L^2} \le \frac{C}{\beta} \left[ \frac{\mu}{\beta} \inf_{\mathbf v \in \mathcal V} \lVert{\mathbf u - \mathbf v}\rVert_{H^1} + \inf_{q\in \mathcal Q} \lVert{p-q}\rVert_{L^2} \right] \end{split}$$

onde $\mu$ é a viscosidade dinâmica e $\beta$ é a constante inf-sup. A partir disso, vemos que, como $\beta \to 0$ , as aproximações de velocidade e (especialmente) pressão tornam-se piores que as melhores disponíveis no espaço de elementos finitos (ou seja, a constante da otimização de Galerkin cresce à medida que $\beta^{-1}$ e $\beta^{-2}$ respectivamente).

Quais métodos têm estabilidade inf-sup uniforme, independentemente da proporção?

Qual destes pode ser usado com malhas não estruturadas?

Como as estimativas se generalizam para aproximações de ordem superior?

Os esquemas de diferenças finitas do MAC (Harlow e Welch 1965) são uniformemente estáveis, mas requerem grades estruturadas suaves e são precisos apenas de segunda ordem.

Os métodos de elementos finitos são preferidos para métodos não estruturados e de alta ordem. Para métodos contínuos de elementos finitos de Galerkin, não há espaços conhecidos que possuam propriedades de aproximação ideais e sejam uniformemente estáveis.

• $Q_k-P_{k-1}^{\mathrm{disc}}$ possui propriedades ideais de aproximação e é localmente conservador, mas a constante inf-sup degrada como raiz quadrada da proporção. Veja Bernardi & Maday 1999 para detalhes.

• $Q_k-Q_{k-2}^{\mathrm{disc}}$ tem uma constante inf-sup independente da proporção e é localmente conservadora, mas a constante inf-sup é escalada como medida que a ordem polinomial é aumentada (Maday et al. 1992) em malhas com forma regular. Em malhas com nós suspensos ou cantos reentrantes, esse limite é nítido em 2D (Schoetzau et al 1998), mas se degrada ainda mais para em 3D (Toselli & Schwab 2003).$\mathcal{O}\left(k^{\frac{1-d}{2}}\right)$$k^{-3/2}$

• O elemento não conforme girado de Rannacher & Turek 1994 é uniformemente estável, possui propriedades ideais de aproximação e é localmente conservador, mas não satisfaz uma desigualdade discreta de Korn, portanto, precisa de correções de limite para algumas condições de contorno e não pode ser usado para fluxos de viscosidade variável. O trabalho subsequente dos autores buscou estabilizar esses métodos usando fluxos de arestas, mas as discretizações resultantes perdem muitas das propriedades atraentes de eficiência.$Q_1-P_0$

• Ainsworth e Coggins 2000 constroem espaços altamente técnicos que se saem um pouco melhor, mas parecem ter utilidade limitada.

Para Galerkin descontínuo, a imagem é um pouco melhor:

• O espaço descontínuo é uniformemente estável e possui ótimas propriedades de aproximação (Schoetzau, Schwab e Toselli 2004). Essa combinação não está disponível com espaços de velocidade contínuos. A constante inf-sup ainda depende do grau polinomial, no entanto, é escalonado como .$Q_k-Q_{k-1}$$k^{-3/2}$