Quais métodos podem garantir que as quantidades físicas permaneçam positivas durante uma simulação PDE?

Quantidades físicas como pressão, densidade, energia, temperatura e concentração devem sempre ser positivas, mas os métodos numéricos às vezes calculam valores negativos durante o processo de solução. Isso não está certo porque as equações calcularão valores complexos ou infinitos (normalmente travando o código). Quais métodos numéricos podem ser usados ​​para garantir que essas quantidades permaneçam positivas? Qual desses métodos é mais eficiente?

O método mais comum é redefinir valores negativos para um número pequeno e positivo. Obviamente, essa não é uma solução matematicamente sólida. Uma abordagem geral melhor que pode funcionar e é fácil é reduzir o tamanho da sua etapa do tempo.

Valores negativos geralmente surgem na solução de PDEs hiperbólicas, porque o aparecimento de choques pode levar a oscilações, o que tenderá a criar valores negativos se houver estados de quase vácuo perto do choque. O uso de um método de variação total decrescente (TVD) ou outro método não-oscilatório ( ENO, WENO ) pode reduzir essa tendência. Esses métodos são baseados no uso de limitadores não lineares para calcular os derivados da solução. No entanto, você ainda pode obter valores negativos por vários motivos:

• Se você usar o método de linhas e aplicar um integrador de horário de alta ordem. A maioria dos esquemas de TVD é comprovadamente apenas no sentido semi-discreto ou com o método de Euler. Para uma integração de tempo de ordem superior, você deve usar uma discretização de tempo de forte preservação de estabilidade (SSP) ; esses esquemas também são conhecidos como "contração" ou "preservação da monotonicidade". Há um livro recente sobre o assunto, de Sigal Gottlieb, Chi-Wang Shu e eu.
• Se você não usar a decomposição de características locais para sistemas de equações, sua solução não será TVD (os esquemas de TVD possuem apenas essa propriedade para problemas escalares). Portanto, é melhor reconstruir / interpolar nas variáveis ​​características.
• Se você possui um sistema não linear, valores negativos podem surgir, mesmo se você usar a decomposição de características locais. Por exemplo, qualquer solucionador de Riemann linearizado (como um solucionador de Roe) para as equações de águas rasas ou as equações de Euler pode gerar valores negativos em condições suficientemente desafiadoras. Uma solução é usar um solucionador HLL (ou uma variante do HLL); alguns deles são comprovadamente positivos.
• Os esquemas de TVD são apenas de segunda ordem; esquemas não-oscilatórios de ordem superior como o WENO não satisfazem estritamente a TVD ou os princípios máximos. Mas uma nova modificação desses esquemas de alta ordem faz; é desenvolvido em vários artigos recentes por Xiangxiong Zhang (um estudante de Chi-Wang Shu).

É claro que existem muitas outras abordagens especializadas para equações específicas, como no código GeoClaw de David George, que usa um solucionador de Riemann com ondas não físicas extras para reforçar a positividade.

Supondo que estamos resolvendo equações hiperbólicas sem termos de origem e assumindo que forneçamos condições físicas iniciais, certificando-se de que o esquema numérico que usamos seja Variação total decrescente é uma boa maneira de garantir a "fisicalidade" da solução computada. Como um esquema de TVD preserva a monotonicidade, nenhum novo mínimo ou máximo será criado e a solução permanecerá limitada pelos valores iniciais que esperamos definir corretamente. Obviamente, a questão é que os esquemas de TVD não são os mais óbvios. Entre esquemas lineares, apenas esquemas de primeira ordem são TVD (Godunov 1954). Desde os anos 50, uma variedade de esquemas de TVD não lineares foi desenvolvida para combinar alta precisão e monotonicidade para a solução de equações hiperbólicas.

Para minhas aplicações, resolvendo equações de Navier-Stokes com grandes gradientes de pressão / densidade, usamos um esquema híbrido centralizado em MUSCL para capturar grandes gradientes / descontinuidades e manter boa precisão longe delas. O primeiro esquema MUSCL (MUSCL significa Esquemas Monótonos de Leis de Conservação centradas a montante) foi desenvolvido por Van Leer em 1979.

Se você quiser saber mais sobre este assunto, consulte os trabalhos de Harten, Van Leer, Lax, Sod e Toro.

As respostas acima se aplicam a problemas dependentes do tempo, mas você também pode exigir positividade em uma simples equação elíptica. Nesse caso, você pode formulá-lo como uma desigualdade variacional , dando limites para as variáveis.

No PETSc, existem dois solucionadores de VI. Utiliza-se um método de espaço reduzido, onde variáveis ​​em restrições ativas são removidas do sistema a ser resolvido. O outro usa um método de Newton semi-suave .

$A$

$$Au = b$$ $A$$A^{-1}$

$B\in\mathbb{R}^{n \times n}$$B\geq0$$B$

$$(B\geq 0) \qquad\Leftrightarrow\qquad (u\leq v ~\Rightarrow~ Bu\leq Bv, ~~\forall u,v \in \mathbb{R}^n )$$

$A$

$$0 \leq b ~\Rightarrow~ 0=A^{-1}0 \leq A^{-1}b = u$$ $b$$b\geq 0$

Geralmente, os esquemas de discretização que levam a uma matriz M são chamados esquemas monótonos, e esses são os esquemas que preservam a não-negatividade.