Algoritmo de reinicialização no VEGAS

Estou tentando entender o algoritmo de rebinning da integração de Monte Carlo do VEGAS ( publicação original ( pré - impressão de LKlevin) e notas de implementação ). Vou tentar explicar primeiro o que acho que entendi e depois fazer minhas perguntas.

Por simplicidade, vamos assumir que temos uma função unidimensional positiva durante todo o intervalo . Esse intervalo é separado em, digamos, compartimentos. Essas caixas são inicialmente do mesmo tamanho. Os tamanhos dos compartimentos definem uma densidade de probabilidade $f(x)$ $[0,1]$ $n$ $\Delta x_i$

ρ (x) = {\begin{cases} 0 \leq x < Δ x_{1} : \frac{1}{n Δ x_{1}} \\ ⋮ \\ Δ x_{n - 1} \leq x < Δ x_{n} : \frac{1}{n Δ x_{n}} \end{cases} .

$\rho(x) = \begin{cases} 0 \le x < \Delta x_1 : \frac{1}{n \Delta x_1} \\ \vdots \\ \Delta x_{n-1} \le x < \Delta x_n : \frac{1}{n \Delta x_n} \end{cases} .$

Os tamanhos dos compartimentos devem somar a duração do intervalo para tornar normalizado adequadamente: $\rho(x)$

\sum_{i = 1}^{n} Δ x_{i} = 1 \Rightarrow \int_{0}^{1} d x ρ (x) = 1.

$\sum_{i=1}^n \Delta x_i = 1 \quad \Rightarrow \quad \int\limits_0^1 \mathrm{d}x \, \rho(x) = 1.$

$N$ $\{ x_i \}$ $\rho(x)$ $S^{(1)}$

S^{(1)} = \frac{1}{N} \sum_{{x_{i}}} \frac{f (x_{i})}{ρ (x_{i})} \approx \int_{0}^{1} d x f (x)

$S^{(1)} = \frac{1}{N} \sum_{\{x_i\}} \frac{f(x_i)}{\rho(x_i)} \approx \int\limits_0^1 \mathrm{d}x \, f(x)$

Até agora, isso é apenas amostragem de importância (não estou interessado em amostragem estratificada) usando uma grade de tamanho variável. A parte interessante do VEGAS é o algoritmo de reinicialização, ou seja, o algoritmo que recalcula os tamanhos dos compartimentos, dependendo dos valores das funções acumuladas na iteração antes:

Para cada posição, os valores da função ao quadrado (?) São somados (na publicação original, os valores absolutos são somados).
Também existe uma função de amortecimento aplicada a cada valor, para "evitar mudanças rápidas e desestabilizadoras".
$b_i$
Os tamanhos de compartimento agora estão definidos de forma que cada novo compartimento contenha aproximadamente a média:

\bar{b} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} b_{i}

$\overline{b} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n b_i$

$x$

Por que está escrito assim? Por que não se lida com o problema mais diretamente, por exemplo, tomando a função média e em bin como uma densidade de probabilidade para a próxima iteração?

monte-carlo

— cschwan
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Você deve adicionar um link para a publicação original. Além disso, o que você quer dizer com "funções que diferem amplamente em compartimentos vizinhos"? O que é uma função pequena? O que é uma grande função?

— vanCompute

Não tenho certeza qual é a sua pergunta. O problema é que os valores absolutos são somados?

— precisa saber é o seguinte

@LKlevin: Bem, os valores ao quadrado são somados, o que difere do que está escrito na publicação original (soma os valores absolutos) de um. Mas acho que isso ocorre porque gera uma melhor convergência para a maioria dos integrandos na prática. Mas porque é isso? Eles fizeram isso apenas de forma empírica ou existe uma explicação adequada? Também não sei por que esse algoritmo pode ser estável se você somar os quadrados em vez dos valores absolutos. Tentei encontrar um melhor algoritmo de renascimento, mas parece impossível encontrar um estável para integrandos que não são fatoráveis. Por que isto é tão bom?

— precisa saber é o seguinte

Isenção de responsabilidade: Eu estou muito familiarizado com os algoritmos de Monte Carlo em geral, mas não com o algoritmo VEGAS especificamente.

O algoritmo VEGAS é baseado no fato de que, se soubéssemos a densidade exata de probabilidade que minimiza a variação de nossa integração Monte Carlo, poderíamos obter nossa resposta usando exatamente 1 avaliação da função f.

Isto é dado por

p (x) = \frac{| f (x) |}{\int_{Ω} | f (x) | d x}

$p(\mathbf{x}) = \frac {|f(\mathbf{x})|} {\int_\Omega |f(\mathbf{x})| d\mathbf{x}}$

Não sabemos a densidade de probabilidade, e estimar exatamente não é viável para uma função de alta dimensão, pois ela consumiria rapidamente uma quantidade enorme de memória.

Em vez disso, o algoritmo VEGAS o aproxima como uma função constante por etapas de M-step.

Acho que você não tem acesso ao artigo completo? O artigo original NÃO usa a função quadrada, mas a absoluta (uma versão pré-impressa pode ser encontrada aqui ).

Eu espero que isso ajude a responder sua pergunta. O artigo original responde a maior parte disso, por isso pode valer a pena

— LKlevin
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