Cálculo do fator Cholesky

Assim, os estados de Cholesky decomposição teorema que que qualquer verdadeira simétrica definida positiva matriz tem uma decomposição de Cholesky M = G G ⊤ onde L é uma matriz triangular inferior.$M$$M= LL^\top$$L$

Dado , já sabemos que existem algoritmos rápidos para calcular seu fator L de Cholesky .$M$$L$

Agora, suponha que me foi dada uma matriz retangular A e eu sabia que A ⊤ A era definido positivamente. Existe uma maneira de calcular o fator de Cholesky L de A ⊤ A sem computar A ⊤ A explicitamente e depois aplicar algoritmos de fatoração de Cholesky?$m\times n$$A$$A^\top A$$L$$A^\top A$$A^\top A$

Se é uma matriz retangular muito grande, executando A ⊤ A parece explicitamente muito caro e, portanto, a questão.$A$$A^\top A$

$A^T A$

$QR$$L=R^T$$R$

Para fatorações QR esparsas, consulte, por exemplo, http://dl.acm.org/citation.cfm?id=174408