Máximo de uma combinação convexa sobre um casco convexo de variáveis reais

\begin{array}{cc} Maximize & a^{T} x \\ Subject to & x_{min} \leq x \leq x_{max} \\ 1^{T} x = 1 \end{array}

$\begin{array}{cc} \text{Maximize} & a^T x \\ \text{Subject to} & x_{\min} \leq x \leq x_{\max} \\ & \mathbf{1}^T x = 1 \end{array}$

x \in R^{n}

$x \in \mathbb{R}^n$

1^{T} x

$\mathbf{1}^T x$

x

$x$

a

$a$

Estou procurando uma maneira rápida de resolver o problema acima sem usar um solucionador de LP. Existe um procedimento rápido a seguir? (além do Simplex).

Obrigado!

optimization convex-optimization

— Mohammad Fawaz
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Respostas:

A solução ideal é a seguinte: Defina todas as variáveis iguais aos seus mínimos. Em seguida, começando do maior para o menor, iterativamente, defina o correspondente o maior possível, até que você pressione . Se ou , o problema é inviável. Eu acredito que esta é a mesma solução que o algoritmo de Geoffrey Irving produz. $a_i$ $x_i$ $\sum_i x_i = 1$ $\sum_i x_{i,min} > 1$ $\sum_i x_{i,max} < 1$

A razão pela qual isso funciona é que você pode transformar seu problema no relaxamento de LP do problema da mochila 0-1 via

y_{i} = \frac{x_{i} - x_{i, m i n}}{x_{i, m a x} - x_{i, m i n}} .

$y_i = \frac{x_i - x_{i,min}}{x_{i,max} - x_{i,min}}.$

No espaço variável em , o problema se torna $y$

\begin{array}{cl} Maximize & \sum_{i} c_{i} y_{i} \\ Subject to & 0 \leq y_{i} \leq 1, for each i \\ \sum_{i} b_{i} y_{i} = d, \end{array}

$\begin{array}{cl} \text{Maximize} & \sum_i c_i y_i \\ \text{Subject to} & 0 \leq y_i \leq 1, \text{ for each } i \\ & \sum_i b_i y_i = d, \end{array}$

onde , , e . Se o problema original for possível, . Os e 'não são negativos, então temos o relaxamento de LP de 0-1 mochila. (A expressão aparece tecnicamente no objetivo, mas como é uma constante, podemos eliminá-lo.) $c_i = a_i (x_{i,max} - x_{i,min})$ $b_i = (x_{i,max} - x_{i,min})$ $d = 1 - \sum_i x_{i,min}$ $d \geq 0$ $c_i$ $b_i$ $\sum_i a_i x_{i,min}$

Supondo que as variáveis sejam classificadas pela razão do maior para o menor, a solução ótima conhecida é a ambiciosa: Defina para o maior possível , defina e defina . Transformar essa solução novamente no espaço do problema com variável fornece a solução que acabei de descrever. $\frac{c_i}{b_i} = a_i$ $y_1 = y_2 = \cdots = y_k = 1$ $k$ $y_{k+1} = d - \sum_{i=1}^k b_i$ $y_{k+2} = \cdots = y_n = 0$ $x$

Além disso, a mochila 0-1 possui uma restrição vez de uma restrição . Se você puder ajustar todos os itens da mochila com espaço sobrando, o problema original da variável é inviável porque . $\leq$ $=$ $x$ $\sum_i x_{i,max} < 1$

— Mike Spivey
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O algoritmo ganancioso funciona: comece com uma solução que atenda às suas restrições e aumente iterativamente o com o maior que não esteja em e o com o menor que não esteja em o mais longe possível. Pare quando nenhum movimento de par adicional for possível. Isso leva para classificar e tempo para o resto. $x_i$ $a_i$ $x_{\max}$ $x_j$ $a_j$ $x_{\min}$ $O(n \log n)$ $a$ $O(n)$

Quando o algoritmo for concluído, haverá um conjunto de preso em (aqueles com grande ), um conjunto de preso em (aqueles com pequeno ) e em mais um com e . Uma mudança diferencial em iniciada a partir dessa posição não pode aumentar o objetivo, pois quaisquer ganhos devido ao aumento de ou seriam mais do que compensados por perdas devido à diminuição de ou . $x_i$ $x_{\max}$ $a_i$ $x_j$ $x_{\min}$ $a_j$ $x_k$ $x_{\min} < x_k < x_{\max}$ $a_i > a_k > a_j$ $x$ $x_j$ $x_k$ $x_i$ $x_k$

— Geoffrey Irving
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Por favor, faça isso mais preciso. Seu método atual altera apenas dois componentes de , se considerados literalmente, portanto, não está correto. Também seria bom argumentar por que o resultado final é ideal.

x

$x$

— Arnold Neumaier 6/12/12

Obrigado pela sua resposta. A abordagem parece interessante, mas eu apóio o pedido de @ArnoldNeumaier de fornecer um argumento.

— Mohammad Fawaz

Ele altera dois componentes por iteração, então não tenho certeza do que você quer dizer com não está correto se considerado literalmente. Vou adicionar uma breve explicação.

— Geoffrey Irving

Bem, o com o maior é o mesmo em cada iteração, etc. Portanto, você tenta alterar os mesmos dois componentes repetidamente. Sua nova versão é irritante como os rótulos índice coisas aparentemente médias diferentes nos dois parágrafos.

x_{i}

$x_i$

i

$i$

i j

$ij$

— Arnold Neumaier 6/12/12

Ah, você está certo sobre o mesmo em cada iteração. Deve ser corrigido agora.

— Geoffrey Irving

Máximo de uma combinação convexa sobre um casco convexo de variáveis ​​reais

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