Como exatamente o algoritmo * full * multigrid é executado?

Então eu entendo (ou pelo menos acredito) como um ciclo V é executado. Eu escrevi no Matlab a versão recursiva 1-D de um ciclo V. No entanto, quando executei meu código para FMG, minha solução não estava convergindo. Acredito que meu problema está na minha compreensão da parte real do FMG. O que eu sei atualmente é o seguinte:

Pouco antes da FMG interpolação, eu relaxei minha solução $u$
Interpolate tanto o erro e (?) $u$
Execute um ciclo v de 2 grades, passando o erro para o ciclo v (?)
Relaxe o erro (na 2ª grade mais grossa)
Interpolar e o erro $u$
Atualize adicionando o erro a ele. $u$
Execute um ciclo v e repita a partir da etapa 4.

Não tenho certeza sobre o pedido, mas também posso estar errado sobre o que exatamente interpolo e passo no meu ciclo-v. Se estiver faltando alguma coisa no algoritmo, entre em contato.

multigrid

— AlanH
fonte

Onde você interpolou o "erro"? (E como você mede o erro?)

Na primeira visita a uma grade mais fina, toda a solução deve ser interpolada, idealmente usando um operador de ordem superior (por exemplo, solução pós-processada / reconstruída para o MEF). Esta interpolação é FMG . (Não há problema em usar a interpolação normal , mas isso geralmente gera alguma eficiência, pelo menos para problemas suaves.) $u$ $u^h \gets \mathbb{I}_H^h u^H$ $\mathbb{I}_h^H = I_h^H$

Após a interpolação do FMG, basta aplicar um ou mais ciclos V (ou ciclos W, etc). (Certifique-se de executar pelo menos um processo mais suave antes de restringir.) As opções mais comuns são a correção linear de defeitos, na qual somente o valor residual $r^h = A^h u^h - b^h$ é restrito e o Esquema de Aproximação Total (FAS), que é natural. para problemas não lineares porque evita a linearização global (por exemplo, Newton ou Picard).

Em FAS, a grade fina estado é restringida utilizando o operador de restrição estado . A restrição de estado não é necessária pelo multigrid de correção de defeitos linear (um atributo conveniente). As restrições de estado mais comuns são injeção nodal (para DF e FE) e médias de células grosseiras (para FV e FE mista). Agora podemos escrever a equação de grade grossa do FAS (igualmente válida para não linear ) como $\tilde u^H \gets \hat I_h^H \tilde u^h$ $A$

A^{H} u^{H} = \underset{b^{H}}{\underset{⏟}{I_{h}^{H} b^{h}}} + \underset{τ_{h}^{H}}{\underset{⏟}{A^{H} {\hat{I}}_{h}^{H} {\tilde{u}}^{h} - I_{h}^{H} A^{h} {\tilde{u}}^{h}}}

$A^H u^H = \underbrace{I_h^H b^h}_{b^H} + \underbrace{A^H \hat I_h^H \tilde u^h - I_h^H A^h \tilde u^h}_{\tau_h^H}$

$b^H$ $\tau_h^H$ $u^{h*}$ $A^H \hat I_h^H u^{h*} = b^H + \tau_h^{H*}$ $u^h \gets \tilde u^h + I_H^h (u^H - \hat I_h^H \tilde u^h)$

— Jed Brown
fonte

O erro foi calculado quando calculei os resíduos ao passar da grade mais fina para a mais grossa. Sua aproximação inicial por grade é apenas zero, onde é relaxada por algum método iterativo.

— AlaNH

Como o erro (do palpite inicial sobre a solução) desempenha um papel nisso tudo?

— AlaNH

u^{h} \leftarrow I_{H}^{h} u^{H}

$u^h \gets \mathbb{I}_H^h u^H$

No esquema de correção de duas grades de Briggs, menciona especificamente o erro de interpolação da grade grossa à fina. Para não parecer obstinado, mas isso é de alguma forma diferente do que você explicou?

— AlaNH

T = I - P^{- 1} A

$T = I - P^{-1}A$

e_{n + 1} = T e_{n}

$e_{n+1} = T e_n$