Preciso de uma explicação simples do método Multigrid ou de alguma literatura sobre isso.
Eu estou familiarizado com métodos iteracionais, incluindo BiCGStab, CG, GS, Jacobi e pré-condicionamento, mas sou iniciante no método multigrid.
Alguém pode explicar isso em detalhes ou pelo menos fornecer claramente pseudocódigo ou código-fonte, mesmo com boa literatura para iniciantes? Obrigado!
Respostas:
A principal idéia por trás do multigrid é a projeção. Eu tento pensar sobre isso da seguinte maneira:
Suponha que eu queira resolver um PDE com muita precisão, por isso procuro discretizar o domínio (digamos, usando o método das diferenças finitas) em uma grade muito fina com muitos e muitos pontos. No final, configurei meu sistema de equações e estou pronto para resolvê-lo. Eu tento usar o meu solucionador iterativo favorito (jacobi, gauss seidel, gradiente conjugado, etc ...). Eu espero mais de um dia e percebo que meu computador ainda está tentando calcular a resposta !!!
A razão pela qual esses métodos iterativos não estão funcionando rapidamente é porque (geralmente) quando você configura um grande sistema de equações como essa, a própria matriz tem valores próprios extremamente próximos de 1. Por que isso importa? Como a taxa de convergência de muitos métodos iterativos está inversamente relacionada ao maior autovalor (consulte o link de Christian Clason para os slides do tutorial Multigrid de Brigg, parte 1, página 27). Portanto, quanto mais próximo estiver o maior valor próprio de 1, mais lento será o método iterativo. (Observação: isso simplifica um pouco demais as coisas, mas ajuda a motivar a necessidade de multigrid).
Obviamente, é sempre mais rápido resolver o problema se houver menos incógnitas (ou seja, em uma grade grossa com menos pontos de grade). Mais importante, porém, a solução (ou solução aproximada) em uma grade mais grossa é um bom ponto de partida para resolver o problema em uma grade mais fina. Essa é a ideia principal por trás da maioria dos métodos multigrid (se não todos). Por que esse é o caso? Intuitivamente, faz sentido, mas existe uma maneira matematicamente rigorosa de justificar isso.
Vejamos os quatro modos do erro em um método iterativo (por razões de argumento, digamos jacobi ou gauss seidel) aplicado ao problema original da grade fina. Veríamos que, nas primeiras iterações, a maioria dos erros de alta frequência (altamente oscilatórios) é removida! Isso é ótimo, mas há um erro de baixa frequência (menos oscilatório) que ainda permanece e não desaparece rapidamente. De fato, é o erro de baixa frequência que impede que um método iterativo padrão converja rapidamente.
quando resolvemos o problema em uma grade mais grossa (digamos, por um método iterativo como jacobi ou gauss-seidel), somos essencialmente capazes de remover erros de frequência mais baixa muito mais rapidamente (ou seja, em menos iterações) do que na grade fina . Portanto, se resolvermos o problema de uma grade grossa, teremos uma solução cujos erros de menor frequência foram significativamente reduzidos. Assim, seria útil como ponto de partida para um método iterativo na grade mais fina.
Embora existam métodos multigrid diferentes, a maioria deles opera com algumas variações do seguinte:
Para mim, a parte mais difícil do método multigrid é as projeções entre grades. Os tutoriais de Briggs sugeridos por @ChristianClason lidam com esse assunto muito melhor do que eu.
Este site possivelmente não é um bom lugar para pedir uma explicação detalhada com pseudocódigo (como indicado na FAQ , "Se você pode imaginar um livro inteiro que responda à sua pergunta, você está pedindo demais."), Então você pode querer para começar com um dos livros clássicos sobre esse tópico (listado abaixo) e voltar com perguntas específicas sobre detalhes concretos com os quais você tem problemas.
Briggs, Tutorial Multigrid , SIAM, 2000 (Você pode baixar os slides aqui e aqui ) Esta é uma fonte casual, fornecendo uma introdução suave aos princípios multigrid, principalmente para problemas elípticos.
Brandt, Multigrid Techniques , edição revisada, SIAM 2011 , (ou faça o download do pdf ). Esse é um grande desenvolvimento da filosofia multigrid e da modelagem em várias escalas e tem uma boa chance de mudar profundamente sua maneira de pensar sobre solucionadores implícitos. O site de Achi Brandt contém muitas outras referências, incluindo sua 2000 Review of Multiscale Scientific Computation .
Trottenberg, Oosterlee e Schueller, Multigrid , Academic Press, 2001. Isso tem mais exemplos funcionados que Brandt, incluindo muitos experimentos e detalhes sobre métodos específicos, especialmente no contexto da dinâmica de fluidos.
Hackbusch, Métodos Multigrid e Aplicações , Springer, 1985 Isso fornece uma rigorosa teoria de convergência, incluindo "multigrid do segundo tipo" para operadores integrais de Fredholm.