Aproximação de derivada parcial de uma função de variável estocástica

Seja um processo Ito d X t = a ( X t , t ) d t + b ( X t , t ) d W t onde W t é um processo de Wiener.$X_t$

$$dX_t=a(X_t,t)dt + b(X_t,t)dW_t$$ $W_t$

Milstein propõe uma aproximação numérica da solução dessas equações:

$$X_T=X_t+a(X_t,t) \Delta t+ b(X_t,t)\Delta W_t+ \frac{1}{2}b(X_t,t) \frac{\partial{b(X_t,t)} }{\partial{x}} \left( \Delta W_t^2 - \Delta t\right)$$

Onde

$\Delta t = T-t$

$\Delta W_t = W_T-W_t$

De acordo com a literatura, isso pode ser transformado em um esquema sem derivadas por meio da aproximação (conhecida como esquema forte de ordem explícita de Platen 1):

$$b(X_t,t) \frac{\partial{b(X_t,t)} }{\partial{x}} \approx \frac{b(X_t+a(X_t,t) \Delta t+ b(X_t,t)\sqrt{\Delta t},t)-b(X_t,t)}{\sqrt{\Delta t}}$$

(Veja: 2001, Kloeden, "Uma breve visão geral dos métodos numéricos para Equações Diferenciais Estocásticas" )

Alguém pode ajudar a entender como é obtida essa aproximação da derivada parcial?

obrigado

Isso é discutido na Seção 11.1 de Kloeden e Platen, "Solução Numérica de Equações Diferenciais Estocásticas" . Lá afirma:

$$\frac{1}{\sqrt\Delta}\left\{b(\tau_n,Y_n + a\Delta + b\sqrt\Delta) - b(\tau_n,Y_n)\right\}$$ $b\frac{\partial{b}}{\partial{x}}$$(\tau_n,Y_n)$

$dW$$\sqrt{\Delta t}$$\Delta t$$b$$\sqrt{\Delta t}$

Claro, isso é apenas intuição. A solução numérica de Kloden de equações diferenciais estocásticas e aproximações de Taylor para diferenciações parciais estocásticas fazem isso com mais rigor.