discretas

Estou lendo um livro sobre métodos numéricos e o quadrado da norma discreta $L^2$ é definido como

| | x | |_{2}^{2} = h \sum_{1}^{N} x_{i}^{2}

$||x||^2_2=h\sum_1^Nx^2_i$ Cada ponto recebe um "peso", que é

h

$h$ , portanto é como uma média sobre os quadrados dos valores em todos os pontos. Isso de fato vem da aproximação de uma integral contínua. Por outro lado, posso definir uma norma semelhante em que a grade é não uniforme com espaçamento

h_{i}

$h_i$ como

| | x | |_{2}^{2} = \sum_{1}^{N} h_{i} x_{i}^{2}

$||x||^2_2=\sum_1^Nh_ix^2_i$ isso me parece natural, pois também posso aproximar uma integral contínua dessa maneira, mas como não vejo nos livros, fiquei desconfiado de que estou perdendo alguma coisa! Então, se eu tenho uma grade não uniforme e quero fazer algumas estimativas nesta norma, como alguém deve defini-la?

pde

— Kamil
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não há referência, visto que NÃO vi isso no livro, é por isso que estou perguntando o que há de errado, definindo-o dessa maneira?

— 21913 Kamil

@ David, acho que não tenho um erro de digitação, não é? Eu apenas aberto em primeiro pdf eecs.berkeley.edu/~colella/E266AFall2012/E266A20120920.pdf e parece o mesmo para mim na página 2.

— Kamil

@ David, eu abri o livro de Leveque em A1.5 subseção onde a norma é definido o mesmo que na questão, os elementos da soma são numeradas de

, eu não escrevi explicitamente que

, esse é o problema? De fato, no artigo acima, eu vinculei o dimensionamento pelo número de pontos e, no livro, mencionei que o dimensionamento é pelo número de intervalos da grade. Você pode ser específico sobre qual é o problema aqui, por favor?

0... N

$0...N$

h = 1 / N

$h=1/N$

h = 1 / (N - 1)

$h=1/(N-1)$

— 27613 Kamil

Peço desculpas. Você me confundiu ao afirmar que definiria a norma. Nunca olhei para o lado esquerdo da sua equação, pois supus que era consistente com o texto que a precedeu. Vejo agora que você definiu (corretamente) a norma ao quadrado. Eu editei o texto para ser consistente com isso. Esta é uma boa pergunta.

— David Ketcheson

Respostas:

Você está exatamente certo: a norma é definida de tal maneira que a norma discreta (vetor) é igual (ou pelo menos se aproxima) à norma contínua de uma função correspondente.

Quando você tem malhas não uniformes, a forma que você fornece (com o dentro da soma) é correta e freqüentemente usada na análise de malhas não uniformes. $h_i$

Obviamente, em 2d, a fórmula correta conteria um fator de e em 3d de . $h^2$ $h^3$

— Wolfgang Bangerth
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Dada uma função , , vamos nós definir a norma como $f(x)$ $x \in (a,b)$ $L^2$ Dado um vetor

‖ f ‖_{2}^{2} = \int_{a}^{b} | f (x) |^{2} d x .

$\begin{equation} \lVert f \rVert_2^2 = \int_a^b \lvert f(x)\rvert^2 \, dx. \end{equation}$

, com

f \equiv {f_{i} = f (x_{i}), i = 0 \dots N}

$\mathbf f \equiv \{ f_i = f(x_i), \; i=0\dots N\}$

definimos anorma

discretacomo

x_{i} = a + i \frac{b - a}{N}

$x_i = a + i \frac{b-a}{N}$

L^{2}

$L^2$

\begin{aligned} __f {__}_{2, d}^{2} & = h \sum_{Eu = 0 0}^{N} | f_{Eu} |^{2}, & h = \frac{b - uma}{N} \end{aligned}

$\begin{align} \lVert \mathbf f \rVert_{2,\text{d}}^2 &= h \sum_{i=0}^N \lvert f_i \rvert^2, &h = \frac{b-a}{N} \end{align}$

lim_{h \to 0 0}__f {__}_{2, d} =__f {__}_{2}

$\begin{equation} \lim_{h \rightarrow 0} \: \lVert \mathbf f \rVert_{2,\text{d}} = \lVert f \rVert_2 \end{equation}$

Essa interpretação não está errada, mas não é a única possível. Como engenheiro que trabalha com grandezas físicas, em vez de números puros, prefiro pensar na norma discreta como uma norma euclidiana dimensionada de maneira a torná-la dimensionalmente homogênea à norma contínua . Portanto, se pudermos provar que , podemos esperar que . Sem o fator de escala, isso não seria verdade. $\ell^2$ $L^2$ $\lVert f - f^h \rVert_2 \rightarrow 0$ $\lVert \mathbf f -\mathbf f^h\rVert_{2,\text{d}} \rightarrow 0$

EDITAR:

Eu apaguei minhas conclusões aqui. Veja a resposta de Wolfgang.

~~Observe que a norma euclidiana em escala é fácil de calcular, enquanto sua proposta é um pouco imprecisa (pode suscitar algumas preocupações como uma fórmula de quadratura) e cara de calcular.~~

Conclusão: a discreta não é (não precisa ser) e se aproxima da contínua, mas pode ser simplesmente interpretada como uma norma escalada -euclidiana, dimensionalmente consistente com a norma contínua . $L^2$ $\ell^2$ $L^2$

— Stefano M
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ok, eu concordo com um fator de escala. Embora possa ser caro calcular, não é uma razão fundamental para não usá-lo. Além disso, se eu não posso defini-lo de qualquer maneira, parece que não posso fazer mais do que qualquer estimativa de estabilidade para uma grade não uniforme, pois a estabilidade vem com uma norma e eu não sou capaz de criar uma. Como lidar com as provas de grade não uniforme?

— 21413 Kamil

@ Kamil, minha resposta foi apenas uma justificativa possível para a discreta norma em . (Seguindo o mesmo raciocínio você chega em um de escala para Não é minha intenção proibindo-lhe o uso de qualquer norma definida na maneira que você pode preferir espaços dimensionais.); no entanto, para abordar suas preocupações, você deve fornecer exemplos concretos nos quais você acha que a definição "padrão" não é válida ou gera resultados incorretos.

L^{2}

$L^2$

1 D

$1D$

h^{d}

$h^d$

d

$d$

— Stefano M

Eu vejo. O exemplo é que eu tenho uma grade não uniforme, não precisa ser nada louca, apenas uma simples não equidistância. Assim, estou considerando um método, digamos Euler, implícito e disposto a provar sua estabilidade. Portanto, como definir uma norma então? Eu vejo em livros toda a teoria é construído para malhas uniformes, no entanto, há vantagens da grade non0uniform em termos de um erro de truncamento local ...

— Kamil

Agradeço sua resposta, mas excluí a segunda, pois de fato respondeu à questão da possibilidade de definir tal norma.

— Kamil