Atualização diagonal de uma matriz definida positiva simétrica

é umamatriz esparsa simétrica positiva positiva definida (SPD). é uma matriz diagonal esparsa. é grande ( $A$ $n \times n$ $G$ $n$ > 10000) e o número de não-zeros no é geralmente 100 ~ 1000. $n$ $G$

foi fatorado na forma cholesky como $A$ . $LDL^T$

Como atualizar e eficiência quando se torna $L$ $D$ $A$ ? $A+G$

linear-algebra

G tem apenas elementos positivos? Nesse caso, aqui está um limite superior trivial: visualize a atualização diagonal como uma soma das atualizações da classificação um. Existem métodos O (n ^ 2) para calcular a fatoração LDL ^ t de uma atualização de classificação um (a pesquisa do Google fornece exemplos). Sua atualização diagonal será executada em O (rn ^ 2), onde r é o número de elementos diagonais diferentes de zero de G. Dada a natureza específica dessas atualizações, existem atalhos para salvar alguns cálculos, mas não está claro se é possível reduza a ordem abaixo de O (rn ^ 2).

Concordo - não acredito que exista alguma maneira de fazer atualizações diagonais em uma fatoração de Cholesky mais rápido do que apenas repetir a fatoração, mas as atualizações de classificação um podem ser feitas em

e você só precisa fazer uma para cada diferente de zero na diagonal de

O (m^{2})

$O(m^2)$

G

$G$

— Brian Borchers

Para

na ordem das centenas, que vai ser difícil de vencer refatorando

. Se o tamanho de

se tornar muito maior e

for muito esparso, poderá valer a pena. De qualquer forma, as possíveis atualizações e aproximações são abordadas em profundidade. Os sistemas lineares simétricos e lineares simétricos fixos podem ser resolvidos em tempo quadrático após a pré-computação? .

n \sim 10^{4}

$n \sim 10^4$

n n z (G)

$\mathrm{nnz}(G)$

A

$A$

A

$A$

G

$G$

— precisa

Jed, acho que você deve promover seu comentário para uma resposta aqui.

— Michael Grant

A versão mais recente do pacote CHOLMOD SuiteSparse (beta 4.4.5) suporta a modificação de uma linha / coluna simétrica (atualização do rank2) para decomposição $LDL^T$ , usando uma API matlab (e C). Eu usei com sucesso em um dos meus projetos.

Você pode usá-lo para fazer atualizações $nnz(G)$ na fatoração. É baseado neste artigo.

Portanto, a complexidade será $O(nnz(G)*nnz(L))$ . Onde $nnz(L)$ pode ser reduzido significativamente ao usar uma permutação de redução de preenchimento para um esparso $A$

O pacote pode ser baixado aqui

Abaixo estão algumas notas que o proprietário do pacote deu (Prof. Tim Davis):

API:

LD = ldlrowmod (LD, k) exclui a linha / coluna k, configurando A (:, k) e A (k, :) para a quinta linha / coluna de identidade.

LD = ldlrowmod (LD, k, C) substitui a enésima linha / coluna de A (que deve ser a enésima linha / coluna de identidade) pela coluna esparsa C.

Complexidade:

A linha adicionar / excluir demora no máximo $O(nnz(L))$ , portanto, se $nnz(L)$ é $O(n)$ , então o tempo é no máximo $O(n)$ .

Permutação de redução de preenchimento:

$LDL^T$ $LDL^T$ $PAP^T$ $L$

— Yuval Atzmon
fonte